3D 变换

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回转

3D 旋转与 2D 旋转不同。在 3D 旋转中，我们必须沿着旋转轴指定旋转角度。我们可以绕 X、Y 和 Z 轴执行 3D 旋转。它们以矩阵形式表示如下 -

$$R_{x}(\theta) = \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & −sin\theta& 0\\ 0& sin\theta & cos\theta& 0\\ 0& 0& 0& 1\ \ \end{bmatrix} R_{y}(\theta) = \begin{bmatrix} cos\theta& 0& sin\theta& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ −sin\theta& 0& cos\theta& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{bmatrix} R_{z}(\theta) =\begin{bmatrix} cos\theta & −sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

下图解释了绕各个轴的旋转 -

缩放

您可以使用缩放变换来更改对象的大小。在缩放过程中，您可以扩大或压缩对象的尺寸。可以通过将对象的原始坐标乘以缩放因子来实现缩放，以获得所需的结果。下图显示了3D缩放的效果 -

在3D缩放操作中，使用三个坐标。假设原始坐标为(X, Y, Z)，缩放因子分别为$(S_{X,} S_{Y,} S_{z})$，生成的坐标为(X', Y' ，Z'）。这可以用数学方式表示，如下所示 -

$S = \begin{bmatrix} S_{x}& 0& 0& 0\\ 0& S_{y}& 0& 0\\ 0& 0& S_{z}& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

P'=P·S

$[{X}' \:\:\: {Y}' \:\:\: {Z}' \:\:\: 1] = [X \:\:\:Y \:\:\: Z \:\:\: 1] \:\: \begin{bmatrix} S_{x}& 0& 0& 0\\ 0& S_{y}& 0& 0\\ 0& 0& S_{z}& 0\\ 0& 0& 0&1 \end{b矩阵}$

$ = [X.S_{x} \:\:\: Y.S_{y} \:\:\: Z.S_{z} \:\:\: 1]$

剪切

使物体形状倾斜的变换称为剪切变换。与 2D 剪切一样，我们可以在 3D 中沿 X 轴、Y 轴或 Z 轴剪切对象。

如上图所示，有一个坐标P。你可以剪切它得到一个新的坐标P'，它可以用3D矩阵形式表示如下 -

$Sh = \begin{bmatrix} 1 & sh_{x}^{y} & sh_{x}^{z} & 0 \\ sh_{y}^{x} & 1 & sh_{y}^{z} & 0 \\ sh_{z}^{x} & sh_{z}^{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

P' = P ∙ Sh

$X' = X + Sh_{x}^{y} Y + Sh_{x}^{z} Z$

$Y' = Sh_{y}^{x}X + Y +sh_{y}^{z}Z$

$Z' = Sh_{z}^{x}X + Sh_{z}^{y}Y + Z$

变换矩阵

变换矩阵是变换的基本工具。nxm 维的矩阵与对象的坐标相乘。通常使用 3 x 3 或 4 x 4 矩阵进行变换。例如，考虑以下用于各种操作的矩阵。