模糊逻辑 - 传统模糊复习

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逻辑最初只是研究区分合理论证和不合理论证的因素，现在已经发展成为一个强大而严格的系统，根据已知的其他陈述，可以发现真实的陈述。

谓词逻辑

该逻辑涉及谓词，谓词是包含变量的命题。

谓词是在某个特定域上定义的一个或多个变量的表达式。带有变量的谓词可以通过给变量赋值或量化变量来构成命题。

以下是谓词的一些示例 -

• 设 E(x, y) 表示“x = y”
• 设 X(a, b, c) 表示“a + b + c = 0”
• 设 M(x, y) 表示“x 与 y 结婚”

命题逻辑

命题是真值“真”或真值“假”的陈述性陈述的集合。命题由命题变量和连接词组成。命题变量用大写字母（A、B 等）表示。连接词连接命题变量。

下面给出了一些命题的例子 -

• “Man is Mortal”，它返回真值“TRUE”
• “12 + 9 = 3 – 2”，返回真值“FALSE”

以下不是提案 -

• “A 小于 2” - 这是因为除非我们给出 A 的具体值，否则我们无法判断该陈述是真还是假。

连接词

在命题逻辑中，我们使用以下五个连接词 -

• 或 (∨∨)
• 与 (∧∧)
• 否定/非 (ØØ)
• 蕴涵/如果-那么 (→→)
• 当且仅当 (⇔⇔)

或 (∨∨)

如果命题变量 A 或 B 中至少有一个为真，则两个命题 A 和 B 的 OR 运算（写为 A∨BA∨B）为真。

真值表如下 -

与 (∧∧)

如果命题变量 A 和 B 都为真，则两个命题 A 和 B 的 AND 运算（写为 A∧BA∧B）为真。

真值表如下 -

否定 (--)

当 A 为真时，命题 A 的否定（写作 ØAØA）为假，当 A 为假时，命题 A 的否定为真。

真值表如下 -

蕴涵/如果-那么 (→→)

蕴涵 A→BA→B 是命题“如果 A，则 B”。如果 A 为真且 B 为假，则为假。其余情况均为真。

真值表如下 -

当且仅当 (⇔⇔)

A⇔BA⇔B 是双条件逻辑连接词，当 p 和 q 相同时，即均为假或均为真时，该连接词为真。

真值表如下 -

结构良好的公式

格式良好的公式 (wff) 是包含以下其中一项的谓词 -

• 所有命题常量和命题变量都是wff。
• 如果 x 是变量且 Y 是 wff，则 ∀xY 和 ∃xY 也是 wff。
• 真值和假值是wffs。
• 每个Atomics式都是一个wff。
• 所有连接wff的连接词都是wff。

量词

谓词的变量由量词来量化。谓词逻辑中有两种类型的量词 -

• 通用量词
• 存在量词

通用量词

通用量词指出，其范围内的陈述对于特定变量的每个值都成立。用符号∀表示。

∀xP(x)被解读为对于 x 的每个值，P(x) 都为真。

示例- “人终有一死”可以转化为命题形式 ∀xP(x)。这里，P(x)是谓词，它表示x是凡人，并且话语宇宙是所有人。

存在量词

存在量词指出其范围内的陈述对于特定变量的某些值是正确的。用符号∃表示。

对于 x 的某些值， ∃xP(x)读作 P(x) 为真。

示例- “有些人不诚实”可以转化为命题形式 ∃x P(x)，其中 P(x) 是谓词，表示 x 不诚实，并且话语宇宙是一些人。

嵌套量词

如果我们使用的量词出现在另一个量词的范围内，则称为嵌套量词。

例子

• ∀ a∃bP(x,y) 其中 P(a,b) 表示 a+b = 0
• ∀ a∀b∀cP(a,b,c) 其中 P(a,b) 表示 a+(b+c) = (a+b)+c

注- ∀a∃bP(x,y) ≠ ∃a∀bP(x,y)