SymPy - 集成

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SymPy 包包含积分模块。它实现了计算表达式的定积分和不定积分的方法。Integrate() 方法用于计算定积分和不定积分。要计算不定积分或原始积分，只需在表达式后面传递变量即可。

例如 -

integrate(f, x)

要计算定积分，请按如下方式传递参数 -

(integration_variable, lower_limit, upper_limit)

>>> from sympy import * 
>>> x,y = symbols('x y') 
>>> expr=x**2 + x + 1 
>>> integrate(expr, x)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

>>> expr=sin(x)*tan(x) 
>>> expr 
>>> integrate(expr,x)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$

定积分的例子如下 -

>>> expr=exp(-x**2) 
>>> integrate(expr,(x,0,oo) )

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{\sqrt\pi}{2}$

您可以传递多个极限元组来执行多重积分。下面给出一个例子 -

>>> expr=exp(-x**2 - y**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{\pi}{4}$

您可以使用 Integral 对象创建未计算的积分，该对象可以通过调用 doit() 方法进行计算。

>>> expr = Integral(log(x)**2, x) 
>>> expr

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$

>>> expr.doit()

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x\log(x)^2 - 2xlog(x) + 2x$

积分变换

SymPy 支持各种类型的积分变换，如下所示 -

• 拉普拉斯变换
• 傅里叶变换
• 正弦变换
• 余弦变换
• 汉克尔变换

这些函数在 sympy.integrals.transforms 模块中定义。以下示例分别计算傅里叶变换和拉普拉斯变换。

实施例1

>>> from sympy import fourier_transform, exp 
>>> from sympy.abc import x, k 
>>> expr=exp(-x**2) 
>>> fourier_transform(expr, x, k)

在 python shell 中执行上述命令时，将生成以下输出 -

sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)

这相当于 -

$\sqrt\pi * e^{\pi^2k^2}$

实施例2

>>> from sympy.integrals import laplace_transform 
>>> from sympy.abc import t, s, a 
>>> laplace_transform(t**a, t, s)

在 python shell 中执行上述命令时，将生成以下输出 -

(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)