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Dijkstra 的最短路径算法
Dijkstra 的最短路径算法与 Prim 的算法类似,都是依靠局部寻找最短路径来实现全局解。然而,与 prim 算法不同的是,dijkstra 算法并没有找到最小生成树;它的目的是找到图中从一个顶点到图中其他剩余顶点的最短路径。Dijkstra 算法可以在有向图和无向图上执行。
由于可以计算出图中从单个源顶点到所有其他顶点的最短路径,因此 Dijkstra 算法也称为单源最短路径算法。获得的输出称为最短路径生成树。
在本章中,我们将学习迪杰斯特拉算法的贪婪方法。
迪杰斯特拉算法
dijkstra 算法旨在找到图的两个顶点之间的最短路径。这两个顶点可以是图中相邻的点或最远的点。算法从源头开始。该算法的输入是图G {V,E},其中V是顶点集,E是边集,以及源顶点S。输出是最短路径生成树。
算法
声明两个数组 - distance [] 来存储从源顶点到图中其他顶点的距离,visited [] 来存储访问过的顶点。
将距离[S] 设置为“0”,距离[v] = ∞,其中 v 表示图中的所有其他顶点。
将S添加到visited[]数组中,并找到S中距离最小的相邻顶点。
与 S 相邻的顶点(例如 A)具有最小距离,并且尚未位于访问数组中。A 被选取并添加到访问数组中,A 的距离从 ∞ 更改为 A 的指定距离,例如 d 1,其中 d 1 < Infini。
对访问过的顶点的相邻顶点重复该过程,直到形成最短路径生成树。
例子
为了更好地理解 dijkstra 的概念,让我们借助示例图来分析该算法 -
步骤1
将除源节点 S 之外的所有顶点的距离初始化为 ∞。
顶点 | S | A | 乙 | C | D | 乙 |
---|---|---|---|---|---|---|
距离 | 0 | 无穷大 | 无穷大 | 无穷大 | 无穷大 | 无穷大 |
现在源顶点S已被访问,将其添加到visited数组中。
visited = {S}
第2步
顶点S有3个距离不同的相邻顶点,其中距离最小的顶点都是A。因此,访问A,dist[A]从无穷大变为6。
S → A = 6 S → D = 8 S → E = 7
顶点 | S | A | 乙 | C | D | 乙 |
---|---|---|---|---|---|---|
距离 | 0 | 6 | 无穷大 | 无穷大 | 8 | 7 |
Visited = {S, A}
步骤3
访问数组中有两个访问过的顶点,因此必须检查两个访问过的顶点的相邻顶点。
顶点 S 还有两个相邻顶点需要访问:D 和 E。顶点 A 有一个相邻顶点 B。
计算从 S 到 D、E、B 的距离并选择最小距离 -
S → D = 8 and S → E = 7. S → B = S → A + A → B = 6 + 9 = 15
顶点 | S | A | 乙 | C | D | 乙 |
---|---|---|---|---|---|---|
距离 | 0 | 6 | 15 | 无穷大 | 8 | 7 |
Visited = {S, A, E}
步骤4
计算所有访问数组的相邻顶点(S、A、E)的距离,并选择距离最小的顶点。
S → D = 8 S → B = 15 S → C = S → E + E → C = 7 + 5 = 12
顶点 | S | A | 乙 | C | D | 乙 |
---|---|---|---|---|---|---|
距离 | 0 | 6 | 15 | 12 | 8 | 7 |
Visited = {S, A, E, D}
步骤5
重新计算未访问顶点的距离,如果发现距离小于现有距离,则替换距离数组中的值。
S → C = S → E + E → C = 7 + 5 = 12 S → C = S → D + D → C = 8 + 3 = 11
dist[C] = 最小值 (12, 11) = 11
S → B = S → A + A → B = 6 + 9 = 15 S → B = S → D + D → C + C → B = 8 + 3 + 12 = 23
距离[B] = 最小值 (15,23) = 15
顶点 | S | A | 乙 | C | D | 乙 |
---|---|---|---|---|---|---|
距离 | 0 | 6 | 15 | 11 | 8 | 7 |
Visited = { S, A, E, D, C}
步骤6
图中剩余的未访问顶点是 B,最小距离为 15,被添加到输出生成树中。
Visited = {S, A, E, D, C, B}
使用 dijkstra 算法获得最短路径生成树作为输出。
例子
该程序实现了迪杰斯特拉最短路径问题,该问题以成本邻接矩阵作为输入,并打印最短路径作为输出以及最小成本。
#include<stdio.h> #include<limits.h> #include<stdbool.h> int min_dist(int[], bool[]); void greedy_dijsktra(int[][6],int); int min_dist(int dist[], bool visited[]){ // finding minimum dist int minimum=INT_MAX,ind; for(int k=0; k<6; k++) { if(visited[k]==false && dist[k]<=minimum) { minimum=dist[k]; ind=k; } } return ind; } void greedy_dijsktra(int graph[6][6],int src){ int dist[6]; bool visited[6]; for(int k = 0; k<6; k++) { dist[k] = INT_MAX; visited[k] = false; } dist[src] = 0; // Source vertex dist is set 0 for(int k = 0; k<6; k++) { int m=min_dist(dist,visited); visited[m]=true; for(int k = 0; k<6; k++) { // updating the dist of neighbouring vertex if(!visited[k] && graph[m][k] && dist[m]!=INT_MAX && dist[m]+graph[m][k]<dist[k]) dist[k]=dist[m]+graph[m][k]; } } printf("Vertex\t\tdist from source vertex\n"); for(int k = 0; k<6; k++) { char str=65+k; printf("%c\t\t\t%d\n", str, dist[k]); } } int main(){ int graph[6][6]= { {0, 1, 2, 0, 0, 0}, {1, 0, 0, 5, 1, 0}, {2, 0, 0, 2, 3, 0}, {0, 5, 2, 0, 2, 2}, {0, 1, 3, 2, 0, 1}, {0, 0, 0, 2, 1, 0} }; greedy_dijsktra(graph,0); return 0; }
输出
Vertex dist from source vertex A 0 B 1 C 2 D 4 E 2 F 3
#include<iostream> #include<climits> using namespace std; int min_dist(int dist[], bool visited[]){ // finding minimum dist int minimum=INT_MAX,ind; for(int k=0; k<6; k++) { if(visited[k]==false && dist[k]<=minimum) { minimum=dist[k]; ind=k; } } return ind; } void greedy_dijsktra(int graph[6][6],int src){ int dist[6]; bool visited[6]; for(int k = 0; k<6; k++) { dist[k] = INT_MAX; visited[k] = false; } dist[src] = 0; // Source vertex dist is set 0 for(int k = 0; k<6; k++) { int m=min_dist(dist,visited); visited[m]=true; for(int k = 0; k<6; k++) { // updating the dist of neighbouring vertex if(!visited[k] && graph[m][k] && dist[m]!=INT_MAX && dist[m]+graph[m][k]<dist[k]) dist[k]=dist[m]+graph[m][k]; } } cout<<"Vertex\t\tdist from source vertex"<<endl; for(int k = 0; k<6; k++) { char str=65+k; cout<<str<<"\t\t\t"<<dist[k]<<endl; } } int main(){ int graph[6][6]= { {0, 1, 2, 0, 0, 0}, {1, 0, 0, 5, 1, 0}, {2, 0, 0, 2, 3, 0}, {0, 5, 2, 0, 2, 2}, {0, 1, 3, 2, 0, 1}, {0, 0, 0, 2, 1, 0} }; greedy_dijsktra(graph,0); return 0; }
输出
Vertex dist from source vertex A 0 B 1 C 2 D 4 E 2 F 3
public class Main { static int min_dist(int dist[], boolean visited[]) { // finding minimum dist int minimum = Integer.MAX_VALUE; int ind = -1; for (int k = 0; k < 6; k++) { if (!visited[k] && dist[k] <= minimum) { minimum = dist[k]; ind = k; } } return ind; } static void greedy_dijkstra(int graph[][], int src) { int dist[] = new int[6]; boolean visited[] = new boolean[6]; for (int k = 0; k < 6; k++) { dist[k] = Integer.MAX_VALUE; visited[k] = false; } dist[src] = 0; // Source vertex dist is set 0 for (int k = 0; k < 6; k++) { int m = min_dist(dist, visited); visited[m] = true; for (int j = 0; j < 6; j++) { // updating the dist of neighboring vertex if (!visited[j] && graph[m][j] != 0 && dist[m] != Integer.MAX_VALUE && dist[m] + graph[m][j] < dist[j]) dist[j] = dist[m] + graph[m][j]; } } System.out.println("Vertex\t\tdist from source vertex"); for (int k = 0; k < 6; k++) { char str = (char) (65 + k); System.out.println(str + "\t\t\t" + dist[k]); } } public static void main(String args[]) { int graph[][] = { { 0, 1, 2, 0, 0, 0 }, { 1, 0, 0, 5, 1, 0 }, { 2, 0, 0, 2, 3, 0 }, { 0, 5, 2, 0, 2, 2 }, { 0, 1, 3, 2, 0, 1 }, { 0, 0, 0, 2, 1, 0 } }; greedy_dijkstra(graph, 0); } }
输出
Vertex dist from source vertex A 0 B 1 C 2 D 4 E 2 F 3
import sys def min_dist(dist, visited): # finding minimum dist minimum = sys.maxsize ind = -1 for k in range(6): if not visited[k] and dist[k] <= minimum: minimum = dist[k] ind = k return ind def greedy_dijkstra(graph, src): dist = [sys.maxsize] * 6 visited = [False] * 6 dist[src] = 0 # Source vertex dist is set 0 for _ in range(6): m = min_dist(dist, visited) visited[m] = True for k in range(6): # updating the dist of neighbouring vertex if not visited[k] and graph[m][k] and dist[m] != sys.maxsize and dist[m] + graph[m][k] < dist[k]: dist[k] = dist[m] + graph[m][k] print("Vertex\t\tdist from source vertex") for k in range(6): str_val = chr(65 + k) # Convert index to corresponding character print(str_val, "\t\t\t", dist[k]) # Main code graph = [ [0, 1, 2, 0, 0, 0], [1, 0, 0, 5, 1, 0], [2, 0, 0, 2, 3, 0], [0, 5, 2, 0, 2, 2], [0, 1, 3, 2, 0, 1], [0, 0, 0, 2, 1, 0] ] greedy_dijkstra(graph, 0)
输出
Vertex dist from source vertex A 0 B 1 C 2 D 4 E 2 F 3