傅里叶级数和变换

在频域分析的上一篇教程中，我们讨论了傅里叶级数和傅里叶变换用于将信号转换为频域。

傅立叶

傅里叶是 1822 年的一位数学家。他提出傅里叶级数和傅里叶变换，将信号转换为频域。

傅里叶级数简单地指出，周期信号乘以一定的权重后可以表示为正弦和余弦之和。它进一步指出，周期信号可以分解为具有以下属性的更多信号。

可以形象地看成

在上面的信号中，最后一个信号实际上是上面所有信号的总和。这就是傅里叶的想法。

正如我们在频域中看到的那样，为了在频域中处理图像，我们需要首先将其转换为频域，并且必须对输出进行逆运算以将其转换回空间域。这就是为什么傅里叶级数和傅里叶变换都有两个公式。一种用于转换，另一种将其转换回空间域。

傅里叶级数可以用这个公式表示。

倒数可以通过这个公式计算出来。

傅里叶变换简单地说就是曲线下面积有限的非周期信号乘以一定的权重后也可以表示为正弦和余弦的积分。

傅里叶变换具有许多广泛的应用，包括图像压缩（例如JPEG压缩）、滤波和图像分析。

虽然傅里叶级数和傅里叶变换都是由傅里叶给出的，但它们之间的区别是傅里叶级数应用于周期信号，而傅里叶变换应用于非周期信号。

现在的问题是，傅里叶级数或傅里叶变换应用于图像中的哪一种。嗯，这个问题的答案在于图像是什么。图像是非周期性的。由于图像是非周期性的，因此使用傅里叶变换将其转换到频域。

由于我们处理的是图像，实际上是数字图像，因此对于数字图像，我们将研究离散傅里叶变换

考虑上述正弦曲线的傅里叶项。它包括三件事。

空间频率与图像的亮度直接相关。正弦曲线的大小与对比度直接相关。对比度是最大和最小像素强度之间的差异。相位包含颜色信息。

二维离散傅立叶变换的公式如下。

离散傅里叶变换实际上是采样傅里叶变换，因此它包含一些表示图像的样本。上式中f(x,y)表示图像，F(u,v)表示离散傅里叶变换。下面给出二维离散傅里叶逆变换的公式。

离散傅里叶逆变换将傅里叶变换转换回图像

现在我们将看到一个图像，我们将计算该图像的 FFT 幅度谱，然后移动 FFT 幅度谱，然后我们将取该移动频谱的对数。