离散数学 - 函数

函数将相关集合中的一个元素准确地分配给集合中的每个元素。函数在各个领域都有应用，例如算法计算复杂性的表示、对象计数、序列和字符串的研究等等。本部分的第三章也是最后一章强调了函数的重要方面。

功能 - 定义

函数或映射（定义为 $f: X \rightarrow Y$）是从一个集合 X 的元素到另一个集合 Y 的元素的关系（X 和 Y 是非空集合）。X 称为域，Y 称为函数“f”的余域。

函数“f”是 X 和 Y 上的关系，使得对于 X$ 中的每个 $x，Y$ 中存在唯一的 $y，使得 R$ 中的 $(x,y) \in R$。“x”称为原像，“y”称为函数 f 的图像。

函数可以是一对一或多对一，但不能是一对多。

函数 $f: A \rightarrow B$ 是单射函数或一对一函数，如果对于每个 $b \in B$，最多存在一个 $a \in A$ 使得 $f(s) = t$ 。

这意味着如果 $a_1 \ne a_2$ 暗示 $f(a1) \ne f(a2)$，则函数f是单射的。

如果 f 的像等于其范围，则函数 $f: A \rightarrow B$ 是满射的。等价地，对于每个$b \in B$，都存在一些$a \in A$，使得$f(a) = b$。这意味着对于 B 中的任意 y，A 中存在某个 x 使得 $y = f(x)$。

函数 $f: A \rightarrow B$ 是双射或一一对应的当且仅当f既是单射又是满射。

证明由 $f(x) = 2x – 3$ 定义的函数 $f: R \rightarrow R$ 是双射函数。

解释- 我们必须证明这个函数既是单射的又是满射的。

如果 $f(x_1) = f(x_2)$，则 $2x_1 – 3 = 2x_2 – 3 $，这意味着 $x_1 = x_2$。

因此，f 是单射的。

这里，$2x – 3= y$

因此，$x = (y+5)/3$ 属于 R，$f(x) = y$。

因此，f 是满射的。

由于f既是满射又是单射，我们可以说f是双射的。

一对一对应函数 $f : A \rightarrow B$ 的逆函数是函数 $g : B \rightarrow A$，具有以下属性 -

$f(x) = y \Leftrightarrow g(y) = x$

如果函数 f的反函数 g 存在，则函数f 称为可逆的。

函数 $f : Z \rightarrow Z, f(x)=x+5$ 是可逆的，因为它具有反函数 $ g : Z \rightarrow Z, g(x)= x-5$。
函数 $f : Z \rightarrow Z, f(x)=x^2$ 不可逆，因为它不是一对一的 $(-x)^2=x^2$。

两个函数 $f: A \rightarrow B$ 和 $g: B \rightarrow C$ 可以组合起来给出组合 $gof$。这是由 $(gof)(x) = g(f(x))$ 定义的从 A 到 C 的函数

令$f(x) = x + 2$ 和$g(x) = 2x + 1$，找到$(fog)(x)$ 和$(gof)(x)$。

$(雾)(x) = f (g(x)) = f(2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3$

$(gof)(x) = g (f(x)) = g(x + 2) = 2 (x+2) + 1 = 2x + 5$

因此，$(fog)(x) \neq (gof)(x)$