网络理论 - 过滤器
滤波器顾名思义，它们过滤频率成分。这意味着，它们允许某些频率分量和/或拒绝一些其他频率分量。
在本章中，我们将讨论无源滤波器。这些是具有电阻器、电感器和电容器等无源元件的电路或网络。
过滤器的类型
根据允许的频带和/或拒绝的频带，滤波器主要分为四种类型。以下是过滤器的类型。
- 低通滤波器
- 高通滤波器
- 带通滤波器
- 带阻滤波器
低通滤波器
低通滤波器顾名思义，它只允许（通过）低频分量。这意味着，它会拒绝（阻止）所有其他高频分量。
低通滤波器的S域电路图（网络）如下图所示。
它由电阻和电容两个无源元件串联组成。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电容器两端的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数为
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$
将 $s = j \omega$ 代入上述方程中。
$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$
传递函数的幅值为
$$|H(j Ω)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$
当ω = 0 时，传递函数的大小等于 1。
当 $\omega = \frac{1}{CR}$ 时，传递函数的大小等于 0.707。
当ω = ∞ 时，传递函数的大小等于 0。
因此，当ω从0变化到无穷大时，低通滤波器的传递函数的幅度将从1变化到0。
高通滤波器
高通滤波器顾名思义，它只允许（通过）高频成分。这意味着，它会拒绝（阻止）所有低频分量。
高通滤波器的S域电路图（网络）如下图所示。
它由串联的电容器和电阻器两个无源元件组成。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电阻器两端的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数为
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$
将 $s = j \omega$ 代入上述方程中。
$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$
传递函数的幅值为
$$|H(j Ω)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$
当ω = 0 时，传递函数的大小等于 0。
当 $\omega = \frac{1}{CR}$ 时，传递函数的大小等于 0.707。
当ω = ∞ 时，传递函数的大小等于 1。
因此，当ω从0变化到无穷大时，高通滤波器的传递函数的幅度将从0变化到1。
带通滤波器
带通滤波器顾名思义，它只允许（通过）一个频段。一般来说，该频带位于低频范围和高频范围之间。这意味着，该滤波器会拒绝（阻止）低频和高频分量。
带通滤波器的S域电路图（网络）如下图所示。
它由电感、电容和电阻三个无源元件串联组成。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电阻器两端的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数为
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$
将 $s = j \omega$ 代入上式中。
$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$
传递函数的幅值为
$$|H(j Ω)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$
当ω = 0 时，传递函数的大小等于 0。
在 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 处，传递函数的大小等于 1。
当ω = ∞ 时，传递函数的大小等于 0。
因此，当ω从 0 变化到 Infini 时，带通滤波器的传递函数的大小将从 0 变化到 1 以及 1 到 0 。
带阻滤波器
带阻滤波器顾名思义，它仅拒绝（阻止）一个频带。一般来说，该频带位于低频范围和高频范围之间。这意味着，该滤波器允许（通过）低频和高频分量。
电路图和截止滤波器的S域（网络）如下图所示。
它由电阻、电感、电容三个无源元件串联组成。输入电压施加在整个组合上，输出被视为电感器和电容器组合上的电压。
这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。
上述网络的传递函数为
$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}} $$
$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$
将 $s = j \omega$ 代入上述方程中。
$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$
传递函数的幅值为
$$|H(j Ω)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$
当ω = 0 时，传递函数的大小等于 1。
在 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 处，传递函数的大小等于 0。
当ω = ∞ 时，传递函数的大小等于 1。
因此，当ω从 0 变化到 Infini时，带阻滤波器的传递函数的大小将从 1 变化到 0 以及 0变化到 1。