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任何表示正则表达式值的集合称为正则集。
正则集的性质
财产1．两个正则集的并集是正则的。
证明-
让我们看两个正则表达式
RE 1 = a(aa)* 且 RE 2 = (aa)*
因此，L 1 = {a, aaa, aaaaa,.....}（奇数长度的字符串，不包括 Null）
且 L 2 ={ ε, aa, aaaa, aaaaaa,.......} （偶数长度的字符串，包括 Null）
L 1 ∪ L 2 = { ε, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, aaaaaa,......}
（所有可能长度的字符串，包括 Null）
RE (L 1 ∪ L 2 ) = a* （它本身就是正则表达式）
于是，证明了。
性质2. 两个正则集的交集是正则的。
证明-
让我们看两个正则表达式
RE 1 = a(a*) 且 RE 2 = (aa)*
因此，L 1 = { a,aa, aaa, aaaa, ....} （所有可能长度的字符串，不包括 Null）
L 2 = { ε, aa, aaaa, aaaaaa,.......} （偶数长度的字符串，包括 Null）
L 1 ∩ L 2 = { aa, aaaa, aaaaaa,.......} （偶数长度的字符串，不包括 Null）
RE (L 1 ∩ L 2 ) = aa(aa)* 本身就是一个正则表达式。
于是，证明了。
性质3. 正则集的补集是正则的。
证明-
让我们采用正则表达式 -
RE = (aa)*
所以，L = {ε, aa, aaaa, aaaaaa, ....} （偶数长度的字符串，包括 Null）
L的补集是L中不存在的所有字符串。
因此，L' = {a, aaa, aaaaa, .....}（奇数长度的字符串，不包括 Null）
RE (L') = a(aa)* 本身就是一个正则表达式。
于是，证明了。
性质4. 两个正则集的差值是正则的。
证明-
让我们采用两个正则表达式 -
RE 1 = a (a*) 且 RE 2 = (aa)*
因此，L 1 = {a, aa, aaa, aaaa, ....} （所有可能长度的字符串，不包括 Null）
L 2 = { ε, aa, aaaa, aaaaaa,.......} （偶数长度的字符串，包括 Null）
L 1 – L 2 = {a, aaa, aaaaa, aaaaaaa, ....}
（除 Null 之外的所有奇数长度的字符串）
RE (L 1 – L 2 ) = a (aa)* 这是一个正则表达式。
于是，证明了。
性质5. 正则集的反转是正则的。
证明-
如果L是正则集，我们必须证明L R也是正则集。
令L = {01, 10, 11, 10}
RE（左）= 01 + 10 + 11 + 10
L R = {10, 01, 11, 01}
RE (LR ) = 01 + 10 + 11 + 10 这是正则
于是，证明了。
性质6. 正则集的闭包是正则的。
证明-
如果 L = {a, aaa, aaaaa, .......} （奇数长度的字符串，不包括 Null）
即，RE (L) = a (aa)*
L* = {a, aa, aaa, aaaa , aaaaa,……………} （除 Null 之外的所有长度的字符串）
RE (L*) = a (a)*
于是，证明了。
性质7. 两个正则集的串联是正则的。
证明 -
设RE 1 = (0+1)*0 且 RE 2 = 01(0+1)*
这里，L 1 = {0, 00, 10, 000, 010, ……} （以 0 结尾的字符串集合）
且L 2 = {01, 010,011,.....} （以 01 开头的字符串集）
那么，L 1 L 2 = {001,0010,0011,0001,00010,00011,1001,10010,........................}
包含 001 作为子字符串的字符串集合，可以用 RE 表示 - (0 + 1)*001(0 + 1)*
于是，证明了。
与正则表达式相关的恒等式
给定 R、P、L、Q 作为正则表达式，以下恒等式成立 -
- ∅* = ε
- ε* = ε
- RR* = R*R
- R*R* = R*
- (R*)* = R*
- RR* = R*R
- (PQ)*P =P(QP)*
- (a+b)* = (a*b*)* = (a*+b*)* = (a+b*)* = a*(ba*)*
- R + ∅ = ∅ + R = R （并集恒等式）
- R ε = ε R = R （串联恒等式）
- ∅ L = L ∅ = ∅ （串联的零子）
- R + R = R （幂等定律）
- L(M+N)=LM+LN （左分配律）
- (M + N) L = ML + NL （右分配律）
- ε + RR* = ε + R*R = R*