凸优化 - 最小值和最大值

局部最小值或最小化

$\bar{x}\in \:S$ 被称为函数 $f$ 的局部最小值，如果 $f\left ( \bar{x} \right )\leq f\left ( x \right ),\ forall x \in N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$ 其中 $N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$ 表示 $\bar{x}$ 的邻域，即 $ N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$ 表示 $\left \| x-\bar{x} \right \|< \varepsilon$

局部最大值或最大化器

$\bar{x}\in \:S$ 被称为函数 $f$ 的局部最大值，如果 $f\left ( \bar{x} \right )\geq f\left ( x \right ), \ forall x \in N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$ 其中 $N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$ 表示 $\bar{x}$ 的邻域，即 $ N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$ 表示 $\left \| x-\bar{x} \right \|< \varepsilon$

全局最小值

$\bar{x}\in \:S$ 被称为函数 $f$ 的全局最小值，如果 $f\left ( \bar{x} \right )\leq f\left ( x \right ), \对于所有 x \新元

全局最大值

$\bar{x}\in \:S$ 被称为函数 $f$ 的全局最大值，如果 $f\left ( \bar{x} \right )\geq f\left ( x \right ), \对于所有 x \新元

例子

步骤 1 - 找到 $f\left ( \bar{x} \right )=\left | 的局部最小值和最大值 x^2-4 \右|$

解决方案-

最小

从上述函数的图中可以清楚地看出，局部最小值出现在 $x= \pm 2$ 处，局部最大值出现在 $x = 0$ 处

步骤 2 - 找到函数 $f\left (x \right )=\left | 的全局最小值 4x^3-3x^2+7 \右 |$

解决方案-

分钟 2

从上述函数的图表中可以清楚地看出，全局最小值出现在 $x=-1$ 处。