凸优化 - 范数

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范数是为向量或变量提供严格正值的函数。

范数是一个函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$

规范的基本特征是 -

设 $X$ 为向量，使得 $X\in \mathbb{R}^n$

• $\左\| x \右\|\geq 0$

• $\左\| x \right \|= 0 \Leftrightarrow x= 0\forall x \in X$

• $\left \|\alpha x \right \|=\left | \alpha \right |\left \| x \right \|\forall \:x \in X 和 \:\alpha \:是 \:a \:标量$

• $\左\| x+y \right \|\leq \left \| x \右\|+\左\| y \右\| \forall x,y \in X$

• $\左\| xy \右\|\geq \左\| \左\| x \右\|-\左\| y \右\| \右\|$

根据定义，范数计算如下 -

• $\左\| x \right \|_1=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i \右|$

• $\左\| x \right \|_2=\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i \right |^2 \right )^{\frac{1}{2}}$

• $\左\| x \right \|_p=\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i \right |^p \right )^{\frac{1}{p}},1 \leq p \leq \infty$

范数是连续函数。

证明

根据定义，如果 $x_n\rightarrow x$ 位于 $X\Rightarrow f\left ( x_n \right )\rightarrow f\left ( x \right ) $ 中，则 $f\left ( x \right )$ 是常函数。

令 $f\left ( x \right )=\left \| x \右\|$

因此，$\left | f\left ( x_n \right )-f\left ( x \right ) \right |=\left | \左\| x_n \右\| -\左\| x \right \|\right |\leq \left | \左 | x_n-x \右 | \:\右|$

由于 $x_n \rightarrow x$ 因此，$\left \| x_n-x \右\|\右箭头0$

因此 $\left | f\left ( x_n \right )-f\left ( x \right ) \right |\leq 0\Rightarrow \left | f\left ( x_n \right )-f\left ( x \right ) \right |=0\Rightarrow f\left ( x_n \right )\rightarrow f\left ( x \right )$

因此，范数是一个连续函数。