MATLAB - 微分

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MATLAB 提供diff命令用于计算符号导数。最简单的形式是，将要区分的函数作为参数传递给 diff 命令。

例如，让我们计算函数 f(t) = 3t ² + 2t ^-2的导数

例子

创建一个脚本文件并在其中输入以下代码 -

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

当上面的代码被编译并执行时，它会产生以下结果 -

ans =
6*t - 4/t^3

以下是与上述计算相同的倍频程 -

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave 执行代码并返回以下结果 -

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

分化基本规则的验证

让我们简要地陈述函数微分的各种方程或规则并验证这些规则。为此，我们将一阶导数写为 f'(x)，将二阶导数写为 f"(x)。

以下是微分规则 -

规则1

对于任何函数 f 和 g 以及任何实数 a 和 b 都是函数的导数 -

h(x) = af(x) + bg(x)关于 x 的计算公式为 -

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

规则2

求和和减法规则规定，如果 f 和 g 是两个函数，f' 和 g' 分别是它们的导数，那么，

( f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

规则3

乘积法则指出，如果 f 和 g 是两个函数，f' 和 g' 分别是它们的导数，那么，

(fg)' = f'.g + g'.f

规则 4

商规则指出，如果 f 和 g 是两个函数，f' 和 g' 分别是它们的导数，那么，

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g ²

规则5

多项式或初等幂法则指出，如果y = f(x) = x ⁿ，则f ' = n。x ^(n-1)

该规则的直接结果是任何常数的导数为零，即，如果y = k，任何常数，则

f' = 0

规则 6

链式法则指出，函数h(x) = f(g(x))对 x 的函数导数为：

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

例子

创建一个脚本文件并在其中输入以下代码 -

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

当您运行该文件时，MATLAB 显示以下结果 -

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是与上述计算相同的倍频程 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave 执行代码并返回以下结果 -

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指数、对数和三角函数的导数

下表提供了常用指数、对数和三角函数的导数 -

例子

创建一个脚本文件并在其中输入以下代码 -

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

当您运行该文件时，MATLAB 显示以下结果 -

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下是与上述计算相同的倍频程 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave 执行代码并返回以下结果 -

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

计算高阶导数

为了计算函数 f 的高阶导数，我们使用语法diff(f,n)。

让我们计算函数 y = f(x) = x .e ^{-3x的二阶导数}

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB 执行代码并返回以下结果 -

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下是与上述计算相同的倍频程 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave 执行代码并返回以下结果 -

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

例子

在这个例子中，让我们解决一个问题。假设函数y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)。我们必须找出方程f" + f = -5cos(2x)是否成立。

创建一个脚本文件并在其中输入以下代码 -

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

当您运行该文件时，它会显示以下结果 -

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下是与上述计算相同的倍频程 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave 执行代码并返回以下结果 -

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

求曲线的最大值和最小值

如果我们正在搜索图的局部最大值和最小值，我们基本上就是在特定位置处寻找函数图上的最高点或最低点，或者寻找符号变量的特定值范围。

对于函数 y = f(x)，图上斜率为零的点称为驻点。换句话说，驻点是 f'(x) = 0 的地方。

为了找到我们微分的函数的驻点，我们需要将导数设置为零并求解方程。

例子

^{让我们找到函数 f(x) = 2x 3} + 3x ² − 12x + 17的驻点

采取以下步骤 -

首先让我们输入函数并绘制其图形。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB 执行代码并返回以下图 -

这是上述示例的 Octave 等效代码 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我们的目标是在图上找到一些局部最大值和最小值，因此让我们找到图上区间 [-2, 2] 的局部最大值和最小值。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB 执行代码并返回以下图 -

这是上述示例的 Octave 等效代码 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

接下来，让我们计算导数。

g = diff(y)

MATLAB 执行代码并返回以下结果 -

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

这是上述计算的等价八度 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave 执行代码并返回以下结果 -

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

让我们求解导函数 g，以获得其变为零的值。

s = solve(g)

MATLAB 执行代码并返回以下结果 -

s =
   1
   -2

以下是与上述计算相同的倍频程 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave 执行代码并返回以下结果 -

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

这和我们的剧情是一致的。因此，让我们在关键点 x = 1, -2 处评估函数 f。我们可以使用subs命令替换符号函数中的值。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB 执行代码并返回以下结果 -

ans =
   10
ans =
   37

以下是与上述计算相同的倍频程 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

^{因此，函数 f(x) = 2x 3} + 3x ² − 12x + 17 在区间 [-2,2] 中的最小值和最大值分别为 10 和 37。

求解微分方程

MATLAB 提供dsolve命令用于符号求解微分方程。

用于求解单个方程的dsolve命令的最基本形式是

dsolve('eqn') 

其中eqn是用于输入方程的文本字符串。

它返回一个符号解，其中包含一组任意常量，MATLAB 将这些常量标记为 C1、C2 等。

您还可以指定问题的初始条件和边界条件，如等式后面的逗号分隔列表 -

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)  

为了使用 dsolve 命令，导数用 D 表示。例如，像 f'(t) = -2*f + cost(t) 这样的方程输入为 -

'Df = -2*f + cos(t)'

更高阶导数由导数阶数后面的 D 表示。

例如，方程 f"(x) + 2f'(x) = 5sin3x 应输入为 -

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

让我们举一个一阶微分方程的简单例子：y' = 5y。

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB 执行代码并返回以下结果 -

s =
   C2*exp(5*t)

让我们看另一个二阶微分方程的例子：y" - y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 2。

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB 执行代码并返回以下结果 -

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2