SciPy - CSGraph

CSGraph 代表压缩稀疏图，专注于基于稀疏矩阵表示的快速图算法。

图形表示

首先，让我们了解什么是稀疏图以及它如何有助于图表示。

稀疏图到底是什么？

图只是节点的集合，节点之间有链接。图几乎可以代表任何东西——社交网络连接，其中每个节点都是一个人并与熟人连接；图像，其中每个节点是一个像素并连接到相邻像素；高维分布中的点，其中每个节点都与其最近的邻居相连；以及几乎任何您能想象到的东西。

表示图数据的一种非常有效的方法是使用稀疏矩阵：我们称之为 G。矩阵 G 的大小为 N x N，G[i, j] 给出节点“i”和节点之间的连接值'j'。稀疏图主要包含零——也就是说，大多数节点只有很少的连接。在大多数感兴趣的情况下，该属性都是正确的。

稀疏图子模块的创建是由 scikit-learn 中使用的几种算法推动的，其中包括以下内容 -

  • Isomap - 一种流形学习算法，需要找到图中的最短路径。

  • 分层聚类- 基于最小生成树的聚类算法。

  • 谱分解- 基于稀疏图拉普拉斯的投影算法。

作为一个具体的例子，假设我们想要表示以下无向图 -

无向图

该图有三个节点，其中节点 0 和 1 通过权重 2 的边连接，节点 0 和 2 通过权重 1 的边连接。我们可以构造稠密、掩码和稀疏表示，如下例所示，请记住无向图由对称矩阵表示。

G_dense = np.array([ [0, 2, 1],
                     [2, 0, 0],
                     [1, 0, 0] ])
                     
G_masked = np.ma.masked_values(G_dense, 0)
from scipy.sparse import csr_matrix

G_sparse = csr_matrix(G_dense)
print G_sparse.data

上述程序将生成以下输出。

array([2, 1, 2, 1])

使用对称矩阵的无向图

这与上图相同，只是节点 0 和 2 通过零权重的边连接。在这种情况下，上面的密集表示会导致歧义 - 如果零是有意义的值，如何表示非边缘。在这种情况下，必须使用屏蔽表示或稀疏表示来消除歧义。

让我们考虑下面的例子。

from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense
G2_data = np.array
([
   [np.inf, 2, 0 ],
   [2, np.inf, np.inf],
   [0, np.inf, np.inf]
])
G2_sparse = csgraph_from_dense(G2_data, null_value=np.inf)
print G2_sparse.data

上述程序将生成以下输出。

array([ 2., 0., 2., 0.])

使用稀疏图的词梯

单词阶梯是刘易斯·卡罗尔发明的一款游戏，其中通过在每一步改变一个字母来链接单词。例如 -

APE → APT → AIT → BIT → BIG → BAG → MAG → MAN

在这里，我们从“APE”到“MAN”共七步，每次改变一个字母。问题是 - 我们能否使用相同的规则找到这些单词之间的更短路径？这个问题自然地表达为稀疏图问题。这些节点将对应于单个单词，我们将在最多相差一个字母的单词之间创建连接。

获取单词列表

首先，当然，我们必须获得有效单词列表。我运行的是 Mac，Mac 在以下代码块中给出的位置有一个单词词典。如果您使用不同的体系结构，您可能需要进行一些搜索才能找到您的系统字典。

wordlist = open('/usr/share/dict/words').read().split()
print len(wordlist)

上述程序将生成以下输出。

235886

我们现在想要查看长度为 3 的单词，因此让我们只选择那些长度正确的单词。我们还将消除以大写字母（专有名词）开头或包含非字母数字字符（例如撇号和连字符）的单词。最后，我们将确保所有内容都是小写，以便稍后进行比较。

word_list = [word for word in word_list if len(word) == 3]
word_list = [word for word in word_list if word[0].islower()]
word_list = [word for word in word_list if word.isalpha()]
word_list = map(str.lower, word_list)
print len(word_list)

上述程序将生成以下输出。

1135

现在，我们有 1135 个有效的三字母单词的列表（确切的数字可能会根据所使用的特定列表而变化）。这些单词中的每一个都将成为我们图中的一个节点，我们将创建连接与每对单词相关的节点的边，每对单词仅相差一个字母。

import numpy as np
word_list = np.asarray(word_list)

word_list.dtype
word_list.sort()

word_bytes = np.ndarray((word_list.size, word_list.itemsize),
   dtype = 'int8',
   buffer = word_list.data)
print word_bytes.shape

上述程序将生成以下输出。

(1135, 3)

我们将使用每个点之间的汉明距离来确定哪些词对是相连的。汉明距离测量两个向量之间的条目分数，这两个向量不同：任何两个汉明距离等于 1/N1/N 的单词，其中 NN 是在单词梯中连接的字母数。

from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
from scipy.sparse import csr_matrix
hamming_dist = pdist(word_bytes, metric = 'hamming')
graph = csr_matrix(squareform(hamming_dist < 1.5 / word_list.itemsize))

比较距离时，我们不使用相等，因为这对于浮点值可能不稳定。只要单词列表中没有两个条目相同，则不等式就会产生所需的结果。现在，我们的图已经设置完毕，我们将使用最短路径搜索来查找图中任意两个单词之间的路径。

i1 = word_list.searchsorted('ape')
i2 = word_list.searchsorted('man')
print word_list[i1],word_list[i2]

上述程序将生成以下输出。

ape, man

我们需要检查这些是否匹配，因为如果这些单词不在列表中，输出中将会出现错误。现在，我们需要的就是找到图中这两个索引之间的最短路径。我们将使用dijkstra算法，因为它允许我们找到仅一个节点的路径。

from scipy.sparse.csgraph import dijkstra
distances, predecessors = dijkstra(graph, indices = i1, return_predecessors = True)
print distances[i2]

上述程序将生成以下输出。

5.0

因此，我们看到“猿”和“人”之间的最短路径仅包含五步。我们可以使用算法返回的前辈来重建这条路径。

path = []
i = i2

while i != i1:
   path.append(word_list[i])
   i = predecessors[i]
   
path.append(word_list[i1])
print path[::-1]i2]

上述程序将生成以下输出。

['ape', 'ope', 'opt', 'oat', 'mat', 'man']