SciPy - 优化

scipy.optimize 包提供了几种常用的优化算法。该模块包含以下几个方面 -

使用各种算法（例如 BFGS、Nelder-Mead 单纯形、牛顿共轭梯度、COBYLA 或 SLSQP）对多元标量函数进行无约束和约束最小化 (minimize())
全局（强力）优化例程（例如 anneal()、basinhopping()）
最小二乘最小化 (leastsq()) 和曲线拟合 (curve_fit()) 算法
标量单变量函数最小化器 (minimize_scalar()) 和根查找器 (newton())
使用多种算法（例如混合 Powell、Levenberg-Marquardt 或大规模方法，如 Newton-Krylov）的多元方程系统求解器 (root())

多元标量函数的无约束和约束最小化

minimize () 函数为scipy.optimize中的多元标量函数的无约束和约束最小化算法提供了一个通用接口。为了演示最小化函数，请考虑最小化 NN 变量的 Rosenbrock 函数的问题 -

$$f(x) = \sum_{i = 1}^{N-1} \:100(x_i - x_{i-1}^{2})$$

当 xi = 1 时，该函数的最小值为 0。

Nelder–Mead 单纯形算法

在以下示例中，minimum() 例程与Nelder-Mead 单纯形算法 (method = 'Nelder-Mead')（通过 method 参数选择）一起使用。让我们考虑下面的例子。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def rosen(x):

x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='nelder-mead')

print(res.x)

上述程序将生成以下输出。

[7.93700741e+54  -5.41692163e+53  6.28769150e+53  1.38050484e+55  -4.14751333e+54]

单纯形算法可能是最小化表现良好的函数的最简单方法。它只需要函数评估，对于简单的最小化问题来说是一个不错的选择。但是，由于它不使用任何梯度评估，因此可能需要更长的时间才能找到最小值。

另一种仅需要函数调用即可找到最小值的优化算法是Powell 方法，可通过在 minimize() 函数中设置 method = 'powell' 来使用。

最小二乘法

求解具有变量界限的非线性最小二乘问题。给定残差 f(x)（n 个实变量的 m 维实函数）和损失函数 rho(s)（标量函数），least_squares 找到成本函数 F(x) 的局部最小值。让我们考虑下面的例子。

在此示例中，我们找到了自变量没有界限的 Rosenbrock 函数的最小值。

#Rosenbrock Function
def fun_rosenbrock(x):
   return np.array([10 * (x[1] - x[0]**2), (1 - x[0])])
   
from scipy.optimize import least_squares
input = np.array([2, 2])
res = least_squares(fun_rosenbrock, input)

print res

请注意，我们只提供残差向量。该算法将成本函数构造为残差平方和，从而给出 Rosenbrock 函数。确切的最小值位于 x = [1.0,1.0] 处。

上述程序将生成以下输出。

active_mask: array([ 0., 0.])
      cost: 9.8669242910846867e-30
      fun: array([ 4.44089210e-15, 1.11022302e-16])
      grad: array([ -8.89288649e-14, 4.44089210e-14])
      jac: array([[-20.00000015,10.],[ -1.,0.]])
   message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
      nfev: 3
      njev: 3
   optimality: 8.8928864934219529e-14
      status: 1
      success: True
         x: array([ 1., 1.])

寻根

让我们了解根查找在 SciPy 中有何帮助。

标量函数

如果有一个单变量方程，有四种不同的求根算法可以尝试。这些算法中的每一个都需要一个区间的端点，其中期望有一个根（因为函数会改变符号）。一般来说，brentq是最好的选择，但其他方法在某些情况下或出于学术目的可能有用。

定点求解

与求函数零点密切相关的一个问题是求函数不动点的问题。函数的不动点是函数求值返回点的点：g(x) = x。显然gg的不动点是 f(x) = g(x)−x 的根。等效地， ff的根是 g(x) = f(x)+x 的不动点。如果给定起始点，例程fixed_point提供了一种简单的迭代方法，使用Aitkens序列加速来估计gg的固定点。

方程组

使用root() 函数可以找到一组非线性方程的根。有多种方法可供选择，其中hybr（默认）和 lm 分别使用Powell 的混合方法和MINPACK 的Levenberg-Marquardt 方法。

以下示例考虑单变量超越方程。

x ² + 2cos(x) = 0

其根可以如下找到 -

import numpy as np
from scipy.optimize import root
def func(x):
   return x*2 + 2 * np.cos(x)
sol = root(func, 0.3)
print sol

上述程序将生成以下输出。

fjac: array([[-1.]])
fun: array([ 2.22044605e-16])
message: 'The solution converged.'
   nfev: 10
   qtf: array([ -2.77644574e-12])
      r: array([-3.34722409])
   status: 1
   success: True
      x: array([-0.73908513])