计算机图形曲线

在计算机图形学中，我们经常需要在屏幕上绘制不同类型的对象。物体并不总是平坦的，我们需要多次绘制曲线才能绘制物体。

曲线类型

曲线是无限大的点集。除端点外，每个点都有两个邻居。曲线可大致分为三类：显式曲线、隐式曲线和参数曲线。

隐式曲线表示通过使用可以测试曲线上的点是否位于曲线上的过程来定义曲线上的点集。通常，隐式曲线由以下形式的隐式函数定义 -

f(x,y) = 0

它可以表示多值曲线（一个 x 值有多个 y 值）。一个常见的例子是圆，其隐式表示为

x ² + y ² - R ² = 0

数学函数 y = f(x) 可以绘制为曲线。这样的函数是曲线的显式表示。显式表示并不通用，因为它不能表示垂直线并且也是单值的。对于每个 x 值，该函数通常只计算一个 y 值。

具有参数形式的曲线称为参数曲线。仅当函数已知时才能使用显式和隐式曲线表示。在实践中使用参数曲线。二维参数曲线具有以下形式 -

P(t) = f(t), g(t) 或 P(t) = x(t), y(t)

函数 f 和 g 成为曲线上任意点的 (x, y) 坐标，当参数 t 在一定区间 [a, b]（通常为 [0, 1]）内变化时获得这些点。

贝塞尔曲线是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔发现的。这些曲线可以在其他点的控制下生成。使用控制点的近似切线来生成曲线。贝塞尔曲线可以在数学上表示为 -

$$\sum_{k=0}^{n} P_{i}{B_{i}^{n}}(t)$$

其中 $p_{i}$ 是点集，${B_{i}^{n}}(t)$ 表示伯恩斯坦多项式，由下式给出 -

$${B_{i}^{n}}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{ni}t^{i}$$

其中n是多项式次数，i是索引，t是变量。

最简单的贝塞尔曲线是从点 $P_{0}$ 到 $P_{1}$ 的直线。二次贝塞尔曲线由三个控制点确定。三次贝塞尔曲线由四个控制点确定。

贝塞尔曲线具有以下属性 -

由伯恩斯坦基函数产生的贝塞尔曲线的灵活性有限。

B 样条基包含 Bernstein 基作为特例。B 样条基础是非全局的。

B 样条曲线定义为控制点 Pi 和 B 样条基函数 $N_{i,}$ k (t) 的线性组合，如下所示

$C(t) = \sum_{i=0}^{n}P_{i}N_{i,k}(t),$ $n\geq k-1,$ $t\: \epsilon \ : [ tk-1,tn+1]$

在哪里，

$${t_{i}:i = 0, ... n + K}$$

N _i , k 函数描述如下 -

$$N_{i,1}(t) = \left\{\begin{matrix} 1,& if \:u \: \epsilon \: [t_{i,}t_{i+1}) \\ 0 ,& 否则\end{矩阵}\right.$$

如果 k > 1，

$$N_{i,k}(t) = \frac{t-t_{i}}{t_{i+k-1}} N_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i +k}-t}{t_{i+k} - t_{i+1}} N_{i+1,k-1}(t)$$

和

$$t \: \epsilon \: [t_{k-1},t_{n+1})$$

B 样条曲线具有以下属性 -