频率响应分析

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我们已经讨论了控制系统的时间响应分析和二阶控制系统的时域规范。在本章中，我们将讨论控制系统的频率响应分析和二阶控制系统的频域规范。

什么是频率响应？

系统的响应可以分为瞬态响应和稳态响应。我们可以使用傅里叶积分找到瞬态响应。系统对输入正弦信号的稳态响应称为频率响应。在本章中，我们将仅关注稳态响应。

如果将正弦信号用作线性时不变 (LTI) 系统的输入，则会产生稳态输出，该输出也是正弦信号。输入和输出正弦信号具有相同的频率，但幅度和相位角不同。

令输入信号为 -

$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$

开环传递函数为 -

$$G(s)=G(j\omega)$$

我们可以用幅度和相位来表示 $G(j\omega)$，如下所示。

$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \角度 G(j\omega)$$

将 $\omega = \omega_0$ 代入上式中。

$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \角度 G(j\omega_0)$$

输出信号为

$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \角度 G(j\omega_0))$$

• 输出正弦信号的幅度是通过将输入正弦信号的幅度与 $\omega = \omega_0$ 处的 $G(j\omega)$ 的幅度相乘获得的。

• 输出正弦信号的相位是通过将输入正弦信号的相位与$\omega = \omega_0$处的$G(j\omega)$的相位相加得到的。

在哪里，

• A是输入正弦信号的幅度。

• ω ₀是输入正弦信号的角频率。

我们可以写出角频率$\omega_0$，如下所示。

$$\omega_0=2\pi f_0$$

这里，$f_0$是输入正弦信号的频率。同样，您可以对闭环控制系统执行相同的步骤。

频域规格

频域规格是谐振峰值、谐振频率和带宽。

将二阶闭环控制系统的传递函数视为：

$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

将 $s = j\omega$ 代入上式中。

$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n ^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right )+j\left ( \frac{2\delta \omega}{\omega_n} \right )}$$

让 $\frac{\omega}{\omega_n}=u$ 将此值代入上述方程中。

$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$

$T(j\omega)$ 的大小为 -

$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$

$T(j\omega)$ 的相位为 -

$$\角度 T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} \right )$$

共振频率

它是频率响应幅度第一次出现峰值的频率。它由 $\omega_r$ 表示。在 $\omega = \omega_r$ 处，$T(j\omega)$ 大小的一阶导数为零。

区分 $M$ 与 $u$。

$$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^ 2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) \right ]$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u )^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

将 $u=u_r$ 和 $\frac{\text{d}M}{\text{d}u}==0$ 代入上式中。

$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 \right ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

$$\右箭头 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$

$$\右箭头 u_r^2-1+2\delta^2=0$$

$$\右箭头 u_r^2=1-2\delta^2$$

$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$

将 $u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$ 代入上述方程中。

$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$

$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$

共振峰

它是 $T(j\omega)$ 幅度的峰值（最大值）。它由 $M_r$ 表示。

在 $u = u_r$ 处，$T(j\omega)$ 的幅度为 -

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$

将 $u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$ 和 $1 − u_r^2 = 2\delta^2$ 代入上式中。

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$

$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$

对于某些阻尼比 $\delta$ 值，频率响应中的谐振峰值对应于时域瞬态响应中的峰值超调。因此，谐振峰值和峰值超调彼此相关。

带宽

在这个频率范围内，$T(j\omega)$ 的幅度从零频率值下降到 70.7%。

当 $\omega = 0$ 时，$u$ 的值为零。

替换为 M 中的 $u = 0$。

$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$

因此，$T(j\omega)$ 的大小在 $\omega = 0$ 时为 1。

在 3 dB 频率下，$T(j\omega)$ 的幅度将为 $\omega = 0$ 时 $T(j\omega)$ 幅度的 70.7%。

即，在 $\omega = \omega_B 处，M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$

$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$

让$u_b^2=x$

$$\右箭头 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$

$$\右箭头 x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$

$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$

仅考虑 x 的正值。

$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$

$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

替代，$x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$

$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$

频率响应中的带宽$\omega_b$与时域瞬态响应中的上升时间$t_r$成反比。