控制系统 - 稳定性分析

在本章中，我们将讨论使用 RouthHurwitz 稳定性准则在's'域中进行的稳定性分析。在此准则中，我们需要特征方程来确定闭环控制系统的稳定性。

劳斯-赫尔维茨稳定性准则

Routh-Hurwitz稳定性准则是具有稳定性的一个必要条件和一个充分条件。如果任何控制系统不满足必要条件，则可以说该控制系统是不稳定的。但是，如果控制系统满足必要条件，那么它可能稳定也可能不稳定。因此，充分条件有助于判断控制系统是否稳定。

劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件

必要条件是特征多项式的系数必须为正。这意味着特征方程的所有根都应具有负实部。

考虑 n 阶特征方程为 -

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$$

需要注意的是， n^阶特征方程中不能缺少任何一项。这意味着n^阶特征方程不应有任何为零值的系数。

劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件

充分条件是劳斯数组第一列的所有元素应具有相同的符号。这意味着劳斯数组第一列的所有元素都应该是正数或负数。

劳斯数组法

如果特征方程的所有根都存在于's'平面的左半部分，则控制系统稳定。如果特征方程至少有一个根存在于's'平面的右半部分，则控制系统不稳定。因此，我们必须求出特征方程的根才能知道控制系统是稳定还是不稳定。但是，随着阶数的增加，很难找到特征方程的根。

因此，为了克服这个问题，我们有劳斯数组方法。该方法不需要计算特征方程的根。首先制定劳斯表，找出劳斯表第一列中符号变化的次数。劳斯表第一列中的符号变化次数给出了存在于's'平面右半部分且控制系统不稳定的特征方程根的数量。

按照此过程形成劳斯表。

使用特征多项式的系数填充劳斯数组的前两行，如下表所示。从 $s^n$ 系数开始，一直到 $s^0$ 系数。
使用下表中提到的元素填充劳斯数组的其余行。继续这个过程，直到得到行$s^0$的第一列元素是$a_n$。这里，$a_n$是特征多项式中$s^0$的系数。

注意- 如果劳斯表的任何行元素有一些公因子，那么您可以用该因子划分行元素，这样简化会很容易。

下表显示了n阶特征多项式的劳斯^数组。

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$$

$s^n$	$a_0$	$a_2$	$a_4$	$a_6$	...	...
$s^{n-1}$	$a_1$	$a_3$	$a_5$	$a_7$	...	...
$s^{n-2}$	$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$	$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$	$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$	...	...	...
$s^{n-3}$	$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$	$c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$	$\vdots$
$\v点$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$s^1$	$\vdots$	$\vdots$
$s^0$	$a_n$

例子

让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，

$$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$$

步骤 1 - 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件。

特征多项式 $s^4+3s^3+3s^2+2s+1$ 的所有系数均为正。因此，控制系统满足必要条件。

步骤 2 - 形成给定特征多项式的劳斯数组。

$s^4$	$1$	$3$	$1$
$s^3$	$3$	$2$
$s^2$	$\frac{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$	$\frac{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$
$s^1$	$\frac{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$
$s^0$	$1$

步骤 3 - 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件。

劳斯数组第一列的所有元素均为正。劳斯数组的第一列没有符号变化。因此，控制系统是稳定的。

劳斯数组的特例

在构建劳斯表的过程中，我们可能会遇到两种情况。从这两种情况很难完成劳斯表。

这两种特殊情况是 -

劳斯数组任何行的第一个元素为零。
劳斯数组任意行的所有元素均为零。

现在让我们一一讨论如何克服这两种情况的困难。

劳斯数组任意行的第一个元素为零

如果劳斯数组的任何行仅包含第一个元素为零且其余元素中至少有一个具有非零值，则将第一个元素替换为一个小的正整数 $\epsilon$。然后继续完成劳斯表的过程。现在，通过代入 $\epsilon$ 趋于零，找出劳斯表第一列中符号变化的次数。

例子

让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，

$$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$$

步骤 1 - 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件。

特征多项式 $s^4+2s^3+s^2+2s+1$ 的所有系数均为正。因此，控制系统满足了必要条件。

步骤 2 - 形成给定特征多项式的劳斯数组。

$s^4$	$1$	$1$	$1$
$s^3$	2 1	2 1
$s^2$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$
$s^1$
$s^0$

$s^3$ 行元素的公因数为 2。因此，所有这些元素都除以 2。

特殊情况 (i) - 只有行 $s^2$ 的第一个元素为零。因此，将其替换为 $\epsilon$ 并继续完成劳斯表的过程。

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	$\epsilon$	1
$s^1$	$\frac{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$
$s^0$	1

步骤 3 - 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件。

当$\epsilon$趋于零时，劳斯表就变成这样。

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	0	1
$s^1$	-∞
$s^0$	1

劳斯表第一列有两个符号变化。因此，控制系统不稳定。

劳斯数组任意行的所有元素均为零

在这种情况下，请按照以下两个步骤操作 -

写出该行的辅助方程 A(s)，该行位于零行的上方。
对辅助方程 A(s) 对 s 求微分。用这些系数填充零行。

例子

让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，

$$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$$

步骤 1 - 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件。

给定特征多项式的所有系数均为正。因此，控制系统满足了必要条件。

步骤 2 - 形成给定特征多项式的劳斯数组。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	3 1	3 1	3 1
$s^3$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$
$s^2$
$s^1$
$s^0$

$s^4$ 行元素的公因数为 3。因此，所有这些元素都除以 3。

特殊情况 (ii) - 行 $s^3$ 的所有元素均为零。因此，写出 $s^4$ 行的辅助方程 A(s)。

$$A(s)=s^4+s^2+1$$

对上式对 s 求微分。

$$\frac{\text{d}A(s)}{\text{d}s}=4s^3+2s$$

将这些系数放在 $s^3$ 行中。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	1	1	1
$s^3$	4 2	2 1
$s^2$	$\frac{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$	$\frac{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$
$s^1$	$\frac{(0.5\times 1)-(1\times2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$
$s^0$	1

步骤 3 - 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件。

劳斯表第一列有两个符号变化。因此，控制系统不稳定。

在Routh-Hurwitz稳定性准则中，我们可以知道闭环极点是在's'平面的左半部分还是在's'平面的右半部分或在虚轴上。所以，我们无法找到控制系统的本质。为了克服这个限制，有一种称为根轨迹的技术。我们将在接下来的两章中讨论这项技术。