时域规格

---

在本章中，我们将讨论二阶系统的时域规范。下图显示了欠阻尼情况下二阶系统的阶跃响应。

所有时域规范均在此图中表示。稳定时间之前的响应称为瞬态响应，稳定时间之后的响应称为稳态响应。

延迟时间

它是响应从零时刻达到其最终值一半所需的时间。它由 $t_d$ 表示。

考虑当“δ”介于 0 和 1 之间时，二阶系统在 t ≥ 0 时的阶跃响应。

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

阶跃响应的最终值为 1。

因此，在 $t=t_d$ 时，阶跃响应的值为 0.5。将这些值代入上式中。

$$c(t_d)=0.5=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta) $$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_d}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_d+\theta)=0.5$$

通过使用线性近似，您将得到延迟时间 t _d为

$$t_d=\frac{1+0.7\delta}{\omega_n}$$

上升时间

它是响应从其最终值的0%上升到100%所需的时间。这适用于欠阻尼系统。对于过阻尼系统，请考虑最终值的 10% 到 90% 的持续时间。上升时间用tr_表示。

当 t = t ₁ = 0 时，c(t) = 0。

我们知道阶跃响应的最终值为 1。

因此，在 $t = t_2$ 时，阶跃响应值为 1。将这些值代入以下等式中。

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

$$c(t_2)=1=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta) $$

$$\Rightarrow \left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_2}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\右箭头\sin(\omega_dt_2+\theta)=0$$

$$\右箭头\omega_dt_2+\theta=\pi$$

$$\Rightarrow t_2=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

将 t ₁和 t ₂值代入以下上升时间方程，

$$t_r=t_2-t_1$$

$$\因此\: t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}$$

从上面的方程，我们可以得出结论，上升时间$t_r$和阻尼频率$\omega_d$彼此成反比。

高峰时段

是响应第一次达到峰值所需的时间。它由 $t_p$ 表示。在 $t = t_p$ 时，响应的一阶导数为零。

我们知道欠阻尼情况下二阶系统的阶跃响应为

$$c(t)=1-\left ( \frac{e^{-\delta \omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta)$$

区分 $c(t)$ 与 't' 的关系。

$$\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^ 2}} \right )\omega_d\cos(\omega_dt+\theta)-\left ( \frac{-\delta\omega_ne^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \对 )\sin(\omega_dt+\theta)$$

将 $t=t_p$ 和 $\frac{\text{d}c(t)}{\text{d}t}=0$ 代入上式中。

$$0=-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\left [ \omega_d\cos(\omega_dt_p+\theta)-\ δ\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta) \right ]$$

$$\Rightarrow \omega_n\sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sqrt{1-\delta^2}\cos(\omega_dt_p+\theta)-\delta\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta)\cos(\omega_dt_p+\theta)-\cos(\theta)\sin(\omega_dt_p+\theta)=0$$

$$\Rightarrow \sin(\theta-\omega_dt_p-\theta)=0$$

$$\右箭头 sin(-\omega_dt_p)=0\右箭头 -\sin(\omega_dt_p)=0\右箭头 sin(\omega_dt_p)=0$$

$$\右箭头\omega_dt_p=\pi$$

$$\Rightarrow t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$$

从上式可以看出，峰值时间$t_p$和阻尼频率$\omega_d$彼此成反比。

峰值过冲

峰值超调M _p定义为峰值时间响应与最终响应值的偏差。它也称为最大超调量。

从数学上来说，我们可以把它写成

$$M_p=c(t_p)-c(\infty)$$

在哪里，

c(t _p ) 是响应的峰值。

c(∞) 是响应的最终（稳态）值。

在 $t = t_p$ 时，响应 c(t) 为 -

$$c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt_p+\theta)$$

将 $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$ 代入上式右侧。

$$c(t_P)=1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_n\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right )}}{\sqrt{1-\delta^ 2}} \right )\sin\left ( \omega_d\left ( \frac{\pi}{\omega_d} \right ) +\theta\right )$$

$$\Rightarrow c(t_p)=1-\left ( \frac{e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}}{ \sqrt{1-\delta^2}} \right )(-\sin(\theta))$$

我们知道

$$\sin(\theta)=\sqrt{1-\delta^2}$$

所以，我们将得到 $c(t_p)$ 作为

$$c(t_p)=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

将 $c(t_p)$ 和 $c(\infty)$ 的值代入峰值超调方程中。

$$M_p=1+e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}-1$$

$$\Rightarrow M_p=e^{-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )}$$

峰值超调百分比 % $M_p$ 可以使用此公式计算。

$$\%M_p=\frac{M_p}{c(\infty )}\times 100\%$$

将 $M_p$ 和 $c(\infty)$ 的值代入上式中，我们将得到峰值超调百分比 $\%M_p$ 为

$$\%M_p=\left ( e^ {-\left ( \frac{\delta\pi}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )} \right )\times 100\%$$

从上式可以看出，如果阻尼比$\delta$增大，峰值超调量$\%M_p$将会减小。

稳定时间

它是响应达到稳定状态并保持在最终值周围指定公差范围内所需的时间。一般来说，公差范围为2%和5%。稳定时间用$t_s$ 表示。

5% 公差带的稳定时间为 -

$$t_s=\frac{3}{\delta\omega_n}=3\tau$$

2% 公差带的稳定时间为 -

$$t_s=\frac{4}{\delta\omega_n}=4\tau$$

其中，$\tau$ 是时间常数，等于$\frac{1}{\delta\omega_n}$。

• 稳定时间$t_s$和时间常数$\tau$都与阻尼比$\delta$成反比。

• 稳定时间$t_s$和时间常数$\tau$都与系统增益无关。这意味着即使系统增益发生变化，稳定时间 $t_s$ 和时间常数 $\tau$ 也永远不会改变。

例子

现在让我们找到当单位阶跃信号用作该控制系统的输入时具有闭环传递函数 $\frac{4}{s^2+2s+4}$ 的控制系统的时域规范。

我们知道二阶闭环控制系统传递函数的标准形式为

$$\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

通过使这两个传递函数相等，我们将得到无阻尼固有频率 $\omega_n$ 为 2 rad/sec，阻尼比 $\delta$ 为 0.5。

我们知道阻尼频率 $\omega_d$ 的公式为

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$$

将 $\omega_n$ 和 $\delta$ 值代入上述公式中。

$$\右箭头\omega_d=2\sqrt{1-(0.5)^2}$$

$$\Rightarrow \omega_d=1.732 \: rad/sec$$

将 $\delta$ 值替换为以下关系式

$$\theta=\cos^{-1}\delta$$

$$\Rightarrow \theta=\cos^{-1}(0.5)=\frac{\pi}{3}\:rad$$

将上述必要值代入每个时域规范的公式中并进行简化，以获得给定传递函数的时域规范值。

下表显示了时域规范、必要值替换和最终值的公式。