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控制系统 - 状态空间分析

在上一章中，我们学习了如何从微分方程和传递函数获得状态空间模型。在本章中，我们将讨论如何从状态空间模型中获取传递函数。

状态空间模型的传递函数

我们知道线性时不变（LTI）系统的状态空间模型是 -

$$\点{X}=AX+BU$$

$$Y=CX+DU$$

对状态方程两边应用拉普拉斯变换。

$$sX(s)=AX(s)+BU(s)$$

$$\右箭头 (sI-A)X(s)=BU(s)$$

$$\右箭头 X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$$

对输出方程两边应用拉普拉斯变换。

$$Y(s)=CX(s)+DU(s)$$

将 X(s) 值代入上式中。

$$\右箭头 Y(s)=C(sI-A)^{-1}BU(s)+DU(s)$$

$$\右箭头 Y(s)=[C(sI-A)^{-1}B+D]U(s)$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

上式表示系统的传递函数。因此，对于状态空间模型所表示的系统，我们可以利用该公式计算系统的传递函数。

注- 当 $D = [0]$ 时，传递函数将为

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B$$

例子

让我们计算状态空间模型中表示的系统的传递函数，如下所示：

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end {bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}[u]$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

这里，

$$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}, \quad C=\begin {bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \quad 和 \quad D=[0]$$

$D = [0]$ 时的传递函数公式为 -

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B$$

将 A、B 和 C 矩阵代入上述方程中。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}s+1 & 1 \\-1 & s \end{bmatrix }^{-1}\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \frac{\begin{bmatrix}s & -1 \\1 & s+ 1 \end{bmatrix}}{(s+1)s-1(-1)}\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}s \\1 \end{bmatrix}} {s^2+s+1}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

因此，给定状态空间模型的系统传递函数为

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

状态转移矩阵及其性质

如果系统具有初始条件，那么它将产生输出。由于即使没有输入，该输出也存在，因此称为零输入响应$x_{ZIR}(t)$。从数学上来说，我们可以把它写成，

$$x_{ZIR}(t)=e^{At}X(0)=L^{-1}\left \{ \left [ sI-A \right ]^{-1}X(0) \right \}$$

根据上面的关系，我们可以将状态转移矩阵 $\phi(t)$ 写为

$$\phi(t)=e^{At}=L^{-1}[sI-A]^{-1}$$

因此，状态转移矩阵 $\phi(t)$ 与初始条件矩阵相乘即可​​获得零输入响应。

以下是状态转移矩阵的属性。

  • 如果$t = 0$，则状态转移矩阵将等于单位矩阵。

    $$\phi(0) = I$$

  • 状态转移矩阵的逆矩阵将与状态转移矩阵的逆矩阵相同，只需将“t”替换为“-t”即可。

    $$\phi^{-1}(t) = \phi(−t)$$

  • 如果 $t = t_1 + t_2$ ，则相应的状态转移矩阵等于 $t = t_1$ 和 $t = t_2$ 处的两个状态转移矩阵的乘积。

    $$\phi(t_1 + t_2) = \phi(t_1) \phi(t_2)$$

可控性和可观察性

现在我们来一一讨论控制系统的可控性和可观性。

可控性

如果控制系统的初始状态通过受控输入在有限的持续时间内转移（改变）到一些其他期望状态，则称控制系统是可控的。

我们可以使用卡尔曼检验来检查控制系统的可控性。

  • 将矩阵 $Q_c$ 写成以下形式。

    $$Q_c=\left [ B \quad AB \quad A^2B \quad ...\quad A^{n-1}B \right ]$$

  • 求矩阵$Q_c$的行列式，如果它不等于0，则控制系统是可控的。

可观察性

如果控制系统能够通过观察有限时间内的输出来确定控制系统的初始状态，则称该控制系统是可观察的。

我们可以使用卡尔曼检验来检查控制系统的可观测性。

  • 将矩阵$Q_o$写成以下形式。

    $$Q_o=\left [ C^T \quad A^TC^T \quad (A^T)^2C^T \quad ...\quad (A^T)^{n-1}C^T \右]$$

  • 求矩阵$Q_o$的行列式，如果它不等于0，则控制系统可观。

例子

让我们验证控制系统的可控性和可观测性，控制系统在状态空间模型中表示为：

$$\dot{x}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end {bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} [u]$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

这里，

$$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix }0 & 1 \end{bmatrix}, D=[0]\quad 和 \quad n=2$$

对于 $n = 2$，矩阵 $Q_c$ 将是

$$Q_c=\left [B \quad AB \right ]$$

我们将得到矩阵 A 和 B 的乘积：

$$AB=\begin{bmatrix}-1 \\1 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow Q_c =\begin{bmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$|Q_c|=1 \neq 0$$

由于矩阵$Q_c$的行列式不等于0，因此给定的控制系统是可控的。

对于 $n = 2$，矩阵 $Q_o$ 将为 -

$$Q_o=\left [C^T \quad A^TC^T \right ]$$

这里，

$$A^T=\begin{bmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix} \quad 和 \quad C^T=\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$ $

我们将得到矩阵 $A^T$ 和 $C^T$ 的乘积：

$$A^TC^T=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow Q_o=\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow |Q_o|=-1 \quad \neq 0$$

由于矩阵 $Q_o$ 的行列式不等于 0，因此给定的控制系统是可观的。

因此，给定的控制系统既是可控的又是可观的。