DSP - CT 信号分类

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连续时间信号可以根据不同的条件或对信号执行的操作进行分类。

偶数和奇数信号

均匀信号

如果信号满足以下条件，则称该信号为偶数；

$$x(-t) = x(t)$$

这里信号的时间反转并不意味着幅度有任何变化。例如，考虑如下所示的三角波。

三角波信号是偶数信号。因为，它关于 Y 轴对称。可以说它是关于Y轴的镜像。

考虑另一个信号，如下图所示。

我们可以看到上面的信号是均匀的，因为它关于 Y 轴对称。

奇数信号

如果信号满足以下条件，则称其为奇数

$$x(-t) = -x(t)$$

这里，时间反转和幅度变化同时发生。

在上图中，我们可以看到一个阶跃信号x(t)。为了测试是否为奇信号，我们首先进行时间反转，即x(-t)，结果如图所示。然后我们反转结果信号的幅度，即-x(-t)，得到如图所示的结果。

如果我们比较第一个和第三个波形，我们可以看到它们是相同的，即x(t)= -x(-t)，这满足我们的标准。因此，上述信号是奇信号。

下面给出了与偶数和奇数信号相关的一些重要结果。

• 偶数 × 偶数 = 偶数
• 奇数 × 奇数 = 偶数
• 偶数 × 奇数 = 奇数
• 偶数 ± 偶数 = 偶数
• 奇数 ± 奇数 = 奇数
• 偶数 ± 奇数 = 既不是偶数也不是奇数

将任何信号表示为偶数或奇数形式

有些信号不能直接分为偶数或奇数类型。这些被表示为偶数和奇数信号的组合。

$$x(t)\rightarrow x_{e}(t)+x_{0}(t)$$

其中 x _e (t) 表示偶信号，x _o (t) 表示奇信号

$$x_{e}(t)=\frac{[x(t)+x(-t)]}{2}$$

和

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

例子

求信号的偶数和奇数部分 $x(n) = t+t^{2}+t^{3}$

解决方案- 通过反转 x(n)，我们得到

$$x(-n) = -t+t^{2}-t^{3}$$

现在，根据公式，偶数部分

$$x_{e}(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})+(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t^{2}$$

类似地，根据公式奇数部分为

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})-(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t+t^{3}$$

周期性和非周期性信号

周期信号

周期性信号在一定时间间隔后会重复出现。我们可以将其以方程形式表示为 -

$$x(t) = x(t)\pm nT$$

其中，n = 整数 (1,2,3……)

T = 基本时间段 (FTP) ≠ 0 且 ≠ ∞

基本时间周期 (FTP) 是信号周期性的最小正固定时间值。

上图所示为振幅 A 的三角信号。这里，信号每 1 秒重复一次。因此，我们可以说该信号是周期性的，其FTP为1秒。

非周期信号

简单地说，非周期性的信号本质上是非周期性的。显然，这些信号在任何间隔时间后都不会重复。

非周期信号不遵循一定的格式；因此，没有特定的数学方程可以描述它们。

能量和功率信号

当且仅当所包含的总能量是有限且非零的（0 < E < ∞）时，信号才被称为能量信号。因此，对于任何能量类型信号，总归一化信号是有限且非零的。

正弦交流电流信号是能量类型信号的完美示例，因为它在一种情况下处于正半周期，然后在下一个半周期中为负。因此，其平均功率变为零。

无损电容器也是能量类型信号的完美示例，因为当它连接到电源时，它会充电到最佳水平，而当电源被移除时，它会通过负载耗散等量的能量，并使其平均功率达到零。

对于任何有限信号 x(t)，能量可以用 E 表示，并写为：

$$E = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2}(t)dt$$

能量类型信号的频谱密度给出了分布在不同频率水平的能量量。

电源类型 信号

当且仅当归一化平均功率有限且非零，即 (0<p<∞) 时，信号被称为功率类型信号。对于功率类型信号，归一化平均功率是有限且非零的。几乎所有的周期信号都是功率信号，它们的平均功率是有限且非零的。

在数学形式中，信号 x(t) 的功率可以写为：

$$P = \lim_{T \rightarrow \infty}1/T\int_{-T/2}^{+T/2} x^{2}(t)dt$$

能量和功率信号之间的差异

下表总结了能量信号和功率信号的差异。

已解决的例子

示例 1 - 求信号的功率 $z(t) = 2\cos(3\Pi t+30^{o})+4\sin(3\Pi +30^{o})$

解决方案- 上述两个信号彼此正交，因为它们的频率项彼此相同，并且它们具有相同的相位差。因此，总力量将是个体力量的总和。

令 $z(t) = x(t)+y(t)$

其中 $x(t) = 2\cos (3\Pi t+30^{o})$ 和 $y(t) = 4\sin(3\Pi +30^{o})$

$x(t) 的幂 = \frac{2^{2}}{2} = 2$

$y(t) 的幂 = \frac{4^{2}}{2} = 8$

因此，$P(z) = p(x)+p(y) = 2+8 = 10$ …Ans。

示例 2 - 测试给定的信号 $x(t) = t^{2}+j\sin t$ 是否共轭？

解决方案- 这里，实部 t ²是偶数，奇数部分（虚数）$\sin t$ 是奇数。所以上面的信号就是共轭信号。

示例 3 - 验证 $X(t)= \sin \omega t$ 是奇数信号还是偶数信号。

解- 给定 $X(t) = \sin \omega t$

通过时间反转，我们可以得到 $\sin (-\omega t)$

但我们知道 $\sin(-\phi) = -\sin \phi$。

所以，

$$\sin (-\omega t) = -\sin \omega t$$

这满足信号为奇数的条件。因此，$\sin \omega t$ 是奇信号。