DSP - DFT 时频变换
我们知道，当$\omega = 2\pi K/N$且$N\rightarrow \infty时，\omega$成为连续变量，并且限制求和变为$-\infty$到$+\infty$。
所以，
$$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{j\omega}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n) e^{\frac{-j2\pi nk}{N}} = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$$离散时间傅立叶变换 (DTFT)
我们知道，$X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$
其中，$X(e^{j\omega})$ 在 ω 中是连续且周期性的，周期为 2π。…eq(1)
现在，
$x_p(n) = \sum_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2 \pi nk/N}$ …来自傅里叶级数
$x_p(n) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N}\times \frac{2\pi}{N }$
由于上述原因，ω 变得连续并且 $\frac{2\pi}{N}\rightarrow d\omega$。
$x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{n = 0}^{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega $ …eq(2)
离散时间傅里叶逆变换
象征性地，
$x(n)\Longleftrightarrow x(e^{j\omega})$ （傅里叶变换对）
非周期序列x(n)的离散时间傅立叶变换存在的充要条件是绝对可和。
即$\sum_{n = -\infty}^\infty|x(n)|<\infty$
DTFT 的特性
线性度：$a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\Leftrightarrow a_1X_1(e^{j\omega})+a_2X_2(e^{j\omega})$
时移− $x(nk)\Leftrightarrow e^{-j\omega k}.X(e^{j\omega})$
时间反转− $x(-n)\Leftrightarrow X(e^{-j\omega})$
频移− $e^{j\omega _0n}x(n)\Leftrightarrow X(e^{j(\omega -\omega _0)})$
频域微分− $nx(n) = j\frac{d}{d\omega}X(e^{j\omega})$
卷积− $x_1(n)*x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$
乘法− $x_1(n)\times x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega})$
相关性− $y_{x_1\times x_2}(l)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$
调制定理− $x(n)\cos \omega _0n = \frac{1}{2}[X_1(e^{j(\omega +\omega _0})*X_2(e^{jw})$
对称性− $x^*(n)\Leftrightarrow X^*(e^{-j\omega})$ ;
$x^*(-n)\Leftrightarrow X^*(e^{j\omega})$ ;
$Real[x(n)]\Leftrightarrow X_{even}(e^{j\omega})$ ;
$Imag[x(n)]\Leftrightarrow X_{奇}(e^{j\omega})$ ;
$x_{偶}(n)\Leftrightarrow Real[x(e^{j\omega})]$ ;
$x_{奇}(n)\Leftrightarrow Imag[x(e^{j\omega})]$ ;
帕塞瓦尔定理− $\sum_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X_1(e^ {j\omega})|^2d\omega$
早些时候，我们研究了频域采样。有了这些基础知识，我们就可以在频域中对 $X(e^{j\omega})$ 进行采样，以便可以根据采样数据进行方便的数字分析。因此，DFT 在时域和频域中进行采样。假设 $x(n) = x_p(n)$
因此，DFT 由下式给出 -
$X(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n) e^{-\frac{j2\pi nk}{N}}$, k=0,1,….,N−1 …eq(3)
IDFT 由下式给出 -
$X(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi nk} {N}}$, n=0,1,….,N−1 …eq(4)
$\因此 x(n)\Leftrightarrow X(k)$
旋转因素
它表示为 $W_N$ 并定义为 $W_N = e^{-j2\pi /N}$ 。它的大小始终保持统一。$W_N 的相位 = -2\pi /N$ 。它是单位圆上的向量，用于计算方便。从数学上来说，它可以表示为 -
$W_N^r = W_N^{r\pm N} = W_N^{r\pm 2N} = ...$
它是 r 和周期 N 的函数。
考虑 N = 8，r = 0,1,2,3,….14,15,16,…。
$\Longleftrightarrow W_8^0 = W_8^8 = W_8^{16} = ... = ... = W_8^{32} = ... =1= 1\角度0$
$W_8^1 = W_8^9 = W_8^{17} = ... = ... = W_8^{33} = ... =\frac{1}{\sqrt 2}= j\frac{1} {\sqrt 2} = 1\angle-\frac{\pi}{4}$
线性变换
让我们了解线性变换 -
我们知道，
$DFT(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n).W_n^{ -nk};\quad k = 0,1,….,N−1$
$x(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k).W_N^{-nk};\quad n = 0,1,….,N−1$
注- DFT 的计算可以通过 N 2复数乘法和 N(N-1) 复数加法来执行。
$x_N = \begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\.\\.\\x(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad 点\quad 向量\quad of\四元信号\四元 x_N$
$X_N = \begin{bmatrix}X(0)\\X(1)\\.\\.\\X(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad 点\quad 向量\quad of\四元信号\四元 X_N$
$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & ... & ... & 1\\1 & W_N & W_N^2 & ... & ... & W_N^{N-1}\\. & W_N^2 & W_N^4 & ... & ... & W_N^{2(N-1)}\\.\\1 & W_N^{N-1} & W_N^{2(N-1) )} & ... & ... & W_N^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix}$
矩阵项中的 N 点 DFT 由下式给出 - $X_N = W_Nx_N$
$W_N\longmapsto$ 线性变换矩阵
$现在，\quad x_N = W_N^{-1}X_N$
矩阵形式的 IDFT 由下式给出
$$x_N = \frac{1}{N}W_N^*X_N$$比较 $x_N,\quad W_N^{-1} = \frac{1}{N}W_N^*$ 和 $W_N\times W_N^* = N[I]_{N\times N}$ 的表达式
因此，$W_N$是一个线性变换矩阵，一个正交（酉）矩阵。
根据$W_N$的周期性质和对称性质，可以得出$W_N^{k+N/2} = -W_N^k$
圆对称
长度为 N≤L 的有限持续时间 x(n) 的 N 点 DFT 等效于 x(n) 的周期扩展的 N 点 DFT，即周期 N 的 $x_p(n)$ 和 $x_p( n) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)$ 。现在，如果我们将这个周期序列向右移动 k 个单位，就得到另一个周期序列。这称为循环移位，由下式给出：
$$x_p^\prime (n) = x_p(nk) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(nk-Nl)$$新的有限序列可以表示为
$$x_p^\prime (n) = \begin{cases}x_p^\prime(n), & 0\leq n\leq N-1\\0 & 否则\end{cases}$$示例- 设 x(n)= {1,2,4,3}，N = 4，
$x_p^\prime (n) = x(nk,modulo\quad N)\equiv x((nk))_N\quad;ex-if\quad k=2i.e\quad 2\quad 单位\quad right\四元移位\四元和\四元 N = 4,$
假设顺时针方向为正方向。
我们得到，$x\prime(n) = x((n-2))_4$
$x\prime(0) = x((-2))_4 = x(2) = 4$
$x\prime(1) = x((-1))_4 = x(3) = 3$
$x\prime(2) = x((-2))_4 = x(0) = 1$
$x\prime(3) = x((1))_4 = x(1) = 2$
结论- N 点序列的循环移位相当于其周期延伸的线性移位，反之亦然。
循环偶数序列 − $x(Nn) = x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$
$iex_p(n) = x_p(-n) = x_p(Nn)$
共轭偶数 − $x_p(n) = x_p^*(Nn)$
循环奇数序列 − $x(Nn) = -x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$
$iex_p(n) = -x_p(-n) = -x_p(Nn)$
共轭奇数 − $x_p(n) = -x_p^*(Nn)$
现在，$x_p(n) = x_{pe}+x_{po}(n)$，其中，
$x_{pe}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)+x_p^*(Nn)]$
$x_{po}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)-x_p^*(Nn)]$
对于任何实数信号 x(n)，$X(k) = X^*(Nk)$
$X_R(k) = X_R(Nk)$
$X_l(k) = -X_l(Nk)$
$\角度 X(k) = -\角度 X(NK)$
时间反转- 反转第 0个样本的样本。这被给出为：
$x((-n))_N = x(Nn),\quad 0\leq n\leq N-1$
时间反转是按顺时针方向（即假定的负方向）绘制序列样本。
其他一些重要属性
其他重要的 IDFT 属性 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$
时间反转− $x((-n))_N = x(Nn)\longleftrightarrow X((-k))_N = X(Nk)$
循环时移− $x((nl))_N \longleftrightarrow X(k)e^{j2\pi lk/N}$
循环频移− $x(n)e^{j2\pi ln/N} \longleftrightarrow X((kl))_N$
复共轭性质-
$x^*(n)\longleftrightarrow X^*((-k))_N = X^*(Nk)\quad 和$
$x^*((-n))_N = x^*(Nn)\longleftrightarrow X^*(-k)$
两个序列的乘法-
$x_1(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quad 和\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(k)$
$\因此 x_1(n)x_2(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quadⓃ X_2(k)$
循环卷积- 和两个 DFT 的乘法
$x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k) =\sum_{k = 0}^{N-1}x_1(n).x_2((mn))_n,\quad m = 0,1,2,。 .. .,N-1 $
$x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k)\longleftrightarrow X_1(k).X_2(k)$
循环相关- 如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 和 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$ ，则存在表示为 $\bar Y_{xy}$ 的互相关序列，使得 $ \bar Y_{xy}(l) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*((nl))_N = X(k).Y^*(k)$
帕塞瓦尔定理- 如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 和 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$；
$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{n =0}^{ N-1}X(k).Y^*(k)$