DSP - 计算机辅助设计

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FIR 滤波器可用于滤波器的计算机辅助设计。让我们举个例子，看看它是如何工作的。下面给出的是所需过滤器的图。

在进行计算机设计时，我们将整个连续图形分解为离散值。在一定限度内，我们将其分成 64、256 或 512（等等）个具有离散量值的部分。

在上面的示例中，我们采用了 -π 到 +π 之间的限制。我们把它分成256个部分。这些点可以表示为 H(0)、H(1)、...直至 H(256)。在这里，我们应用 IDFT 算法，这将为我们提供线性相位特性。

有时，我们可能对某些特定的过滤器顺序感兴趣。^{假设我们想通过 9阶}滤波器实现上述设计。因此，我们将过滤器值设为 h0、h1、h2….h9。从数学上来说，它可以表示如下

$$H(e^{j\omega}) = h_0+h_1e^{-j\omega}+h_2e^{-2j\omega}+.....+h_9e^{-9j\omega}$$

当存在大量位错时，我们取最大值。

例如，在上图中，B点和C点之间的斜率突然下降。因此，我们尝试在该点取更多的离散值，但是C点和D点之间的斜率是恒定的。离散值的数量较少。

为了设计上述滤波器，我们经历了如下最小化过程；

$H(e^{j\omega1}) = h_0+h_1e^{-j\omega1}+h_2e^{-2j\omega1}+.....+h_9e^{-9j\omega1}$

$H(e^{j\omega2}) = h_0+h_1e^{-j\omega2}+h_2e^{-2j\omega2}+.....+h_9e^{-9j\omega2}$

相似地，

$(e^{j\omega1000}) = h_0+h_1eH^{-j\omega1000}h_2e^{-2j\omega1000}+.....+h_9+e^{-9j\omega1000}$

以矩阵形式表示上述方程，我们有 -

$$\begin{bmatrix}H(e^{j\omega_1})\\.\\.\\H(e^{j\omega_{1000}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e ^{-j\omega_1} & ... & e^{-j9\omega_1} \\. &&。\\. &&。\\e^{-j\omega_{1000}} &... & e^{j9\omega_{1000}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}h_0\\.\\.\\h_9\end {b矩阵}$$

让我们将 1000×1 矩阵作为 B，1000×9 矩阵作为 A，9×1 矩阵作为 $\hat{h}$。

因此，为了求解上面的矩阵，我们将写成

$\hat{h} = [A^TA]^{-1}A^{T}B$

$= [A^{*T}A]^{-1}A^{*T}B$

其中 A ^*表示矩阵 A 的复共轭。