数字信号处理-DFT简介

与连续时间信号傅里叶变换一样，离散时间傅里叶变换可用于将离散序列表示为其等效频域表示和LTI离散时间系统，并开发各种计算算法。

连续 FT 中的 X (jω) 是 x(n) 的连续函数。然而，DFT 涉及用其频谱 X(ω) 的样本来表示 x(n)。因此，这种数学工具在方便表示方面具有非常重要的计算意义。周期性和非周期性序列都可以通过该工具进行处理。需要通过将周期延长至无穷大来对周期序列进行采样。

频域采样

从介绍中可以清楚地看出，我们需要知道如何进行频域采样，即采样X(ω)。因此，采样傅立叶变换和DFT之间的关系通过以下方式建立。

类似地，周期序列可以通过将周期 N 延长至无穷大来适合该工具。

设非周期序列为 $X(n) = \lim_{N \to \infty}x_N(n)$

定义其傅立叶变换，

$X(\omega ) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-jwn}X(K\delta \omega)$ ...eq(1 )

这里，X(ω) 以每个 δω 弧度间隔定期采样。

由于 X(ω) 以 2π 弧度为周期，因此我们仅需要基本范围内的样本。采样是在频率范围 0≤ω≤2π 内以等距间隔采集的。等效间隔之间的间距为 $\delta \omega = \frac{2\pi }{N}k$ 弧度。

现在评估，$\omega = \frac{2\pi}{N}k$

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j2\pi nk/N},$ ...eq ( 2）

其中 k=0,1,……N-1

将上面细分后，交换求和顺序

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}[\displaystyle\sum\limits_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)]e^{-j2\pi nk/N}$ ...eq(3)

$\sum_{l=-\infty}^\infty x(n-Nl) = x_p(n) = \quad 周期\quad 函数\quad 的\quad 周期\quad N\quad 和\quad 其\quad 傅里叶\quad 级数\quad = \sum_{k = 0}^{N-1}C_ke^{j2\pi nk/N}$

其中，n = 0,1,…..,N-1；'p'-代表周期性实体或函数

傅里叶系数是，

$C_k = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$ k=0,1,…, N- 1 ...eq(4)

比较等式 3 和 4，我们得到；

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k)$ k=0,1,…,N-1 ...eq(5)

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{jw}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x_p(n)e^{ -j2\pi nk/N}$ ...eq(6)

由傅里叶级数展开，

$x_p(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N-1}X(\frac{2\pi}{N}k)e^{j2\pi nk/N}$ ...eq(7 )

其中 n=0,1,…,N-1

在这里，我们从 X(ω) 得到周期信号。如果时域中没有混叠，则只能从 $x_p(n)$ 中提取 $x(n)$。$N\geq L$

N = $x_p(n)$ 的周期 L= $x(n)$ 的周期

$x(n) = \begin{cases}x_p(n), & 0\leq n\leq N-1\\0, & 否则\end{cases}$

映射就是通过这种方式实现的。

DFT 的性质

线性度

它指出信号组合的 DFT 等于各个信号的 DFT 之和。让我们取两个信号x ₁ (n) 和x ₂ (n)，其DFT 分别为X ₁ (ω) 和X ₂ (ω)。因此，如果

$x_1(n)\rightarrow X_1(\omega)$和$x_2(n)\rightarrow X_2(\omega)$

然后$ax_1(n)+bx_2(n)\rightarrow aX_1(\omega)+bX_2(\omega)$

其中a和b是常数。

对称

DFT 的对称性可以通过与我们推导 DTFT 对称性类似的方式推导。我们知道序列x(n)的DFT记为X(K)。现在，如果 x(n) 和 X(K) 是复值序列，那么它可以表示为

$x(n) = x_R(n)+jx_1(n),0\leq n\leq N-1$

且$X(K) = X_R(K)+jX_1(K),0\leq K\leq N-1$

对偶性

让我们考虑一个信号 x(n)，其 DFT 给出为 X(K)。令有限持续时间序列为 X(N)。那么根据对偶定理，

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$X(N)\longleftrightarrow Nx[((-k))_N]$

因此，如果我们知道 DFT，通过使用这个定理，我们可以很容易地找到有限持续时间序列。

复共轭性质

假设有一个信号 x(n)，其 DFT 也称为 X(K)。现在，如果信号的复共轭给出为 x*(n)，那么我们可以使用下面所示的定理轻松找到 DFT，而无需进行大量计算。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$x*(n)\longleftrightarrow X*((K))_N = X*(NK)$

循环频移

序列 x(n) 与复指数序列 $e^{j2\Pi kn/N}$ 的乘法相当于 DFT 在频率上循环移位 L 个单位。这是循环时移特性的对偶。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么$x(n)e^{j2\Pi Kn/N}\longleftrightarrow X((KL))_N$

两个序列的乘法

如果有两个信号x ₁ (n)和x ₂ (n)，其各自的DFT为X ₁ (k)和X ₂ (K)，则信号在时间序列上的乘法对应于它们的DFT的循环卷积。

如果$x_1(n)\longleftrightarrow X_1(K)\quad\&\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(K)$

帕塞瓦尔定理

对于复值序列 x(n) 和 y(n)，一般来说

如果$x(n)\longleftrightarrow X(K)\quad \&\quad y(n)\longleftrightarrow Y(K)$

那么$\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X( K)Y^*(K)$