卷积和相关

卷积

卷积是一种数学运算，用于表达 LTI 系统的输入和输出之间的关系。它将 LTI 系统的输入、输出和脉冲响应关联为

$$ y (t) = x(t) * h(t) $$

其中 y (t) = LTI 的输出

x (t) = LTI 的输入

h (t) = LTI 的脉冲响应

卷积有两种类型：

连续卷积
离散卷积

连续卷积

$ y(t) \,\,= x (t) * h (t) $

$= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h (t-\tau)d\tau$

（或者）

$= \int_{-\infty}^{\infty} x(t - \tau) h (\tau)d\tau $

离散卷积

$y(n)\,\,= x (n) * h (n)$

$= \Sigma_{k = - \infty}^{\infty} x(k) h (nk) $

（或者）

$= \Sigma_{k = - \infty}^{\infty} x(nk) h (k) $

通过使用卷积，我们可以找到系统的零状态响应。

反卷积

反卷积是信号和图像处理中广泛使用的卷积的逆过程。

卷积的性质

交换律

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

分配财产

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t) ] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)]$

关联属性

$x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t) ] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

转移财产

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

脉冲卷积

$ x_1 (t) * \delta (t) = x(t) $

$ x_1 (t) * \delta (t- t_0) = x(t-t_0) $

单位步长的卷积

$ u(t) * u(t) = r(t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r(t-T_1-T_2) $

$ u(n) * u(n) = [n+1] u(n) $

缩放属性

如果$x(t)*h(t)=y(t)$

那么 $x (at) * h (at) = {1 \over |a|} y (at)$

输出差异化

如果$y(t)=x(t)*h(t)$

那么 $ {dy (t) \over dt} = {dx(t) \over dt} * h (t) $

或者

$ {dy (t) \over dt} = x (t) * {dh(t) \over dt}$

笔记：

两个因果序列的卷积是因果的。
两个反因果序列的卷积是反因果的。
两个不等长矩形的卷积得到一个梯形。
两个等长矩形的卷积得到一个三角形。
函数本身的卷积等于该函数的积分。

示例：您知道 $u(t) * u(t) = r(t)$

根据上面的注释， $u(t) * u(t) = \int u(t)dt = \int 1dt = t = r(t)$

在这里，只需对 $u(t)$ 进行积分即可得到结果。

卷积信号的局限性

如果两个信号进行卷积，则所得的卷积信号具有以下范围：

下限之和 < t < 上限之和

例如：找到下面给出的信号的卷积范围

在这里，我们有两个长度不等的矩形进行卷积，得到一个梯形。

卷积信号的范围为：

下限之和 < t < 上限之和

$-1+-2 < t < 2+2 $

$-3 < t < 4 $

因此结果是周期为 7 的梯形。

卷积信号面积

卷积信号下的面积由 $A_y = A_x A_h$ 给出

其中 A _x = 输入信号下的面积

A _h = 脉冲响应下的面积

A _y = 输出信号下的面积

证明： $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h (t-\tau)d\tau$

双方进行整合

$ \int y(t)dt \,\,\, =\int \int_{-\infty}^{\infty}\, x (\tau) h (t-\tau)d\tau dt $

$ =\int x (\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty}\, h (t-\tau) dt $

我们知道任何信号的面积都是该信号本身的积分。

$\因此 A_y = A_x\,A_h$

直流分量

任何信号的直流分量由下式给出

$\text{直流分量}={\text{信号面积} \over \text{信号周期}}$

例如：下面给出的合成卷积信号的直流分量是多少？

这里面积 x ₁ (t) = 长 × 宽 = 1 × 3 = 3

面积 x ₂ (t) = 长 × 宽 = 1 × 4 = 4

_{卷积信号面积 = x 1} (t)面积× x ₂ (t)面积

= 3 × 4 = 12

卷积信号的持续时间 = 下限之和 < t < 上限之和

= -1 + -2 < t < 2+2

= -3 < t < 4

周期=7

$\therefore$ 卷积信号的直流分量 = $\text{信号的面积} \over \text{信号的周期}$

直流分量 = ${12 \over 7}$

离散卷积

让我们看看如何计算离散卷积：

我。计算离散线性卷积：

对两个序列进行卷积 x[n] = {a,b,c} & h[n] = [e,f,g]

卷积输出 = [ ea, eb+fa, ec+fb+ga, fc+gb, gc]

注意：如果任意两个序列分别有 m、n 个样本，则得到的卷积序列将有 [m+n-1] 个样本。

示例：对两个序列进行卷积 x[n] = {1,2,3} & h[n] = {-1,2,2}

卷积输出 y[n] = [ -1, -2+2, -3+4+2, 6+4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

这里 x[n] 包含 3 个样本，h[n] 也有 3 个样本，因此所得序列有 3+3-1 = 5 个样本。

二. 计算周期或循环卷积：

周期性卷积对于离散傅立叶变换有效。为了计算周期性卷积，所有样本都必须是真实的。周期性或循环卷积也称为快速卷积。

如果长度为 m、n 的两个序列分别使用循环卷积进行卷积，则所得序列具有 max [m,n] 个样本。

例如：使用循环卷积对两个序列 x[n] = {1,2,3} & h[n] = {-1,2,2} 进行卷积

正常卷积输出 y[n] = [ -1, -2+2, -3+4+2, 6+4, 6]。

= [-1, 0, 3, 10, 6]

这里 x[n] 包含 3 个样本，h[n] 也有 3 个样本。因此，通过循环卷积获得的结果序列必须具有 max[3,3]= 3 个样本。

现在为了得到周期性卷积结果，正常卷积的第一个3个样本[因为周期为3]是相同的，接下来的两个样本被添加到第一个样本中，如下所示：

$\therefore$循环卷积结果$y[n] = [9\quad 6\quad 3 ]$

自相关函数

它被定义为信号与其自身的相关性。自相关函数是信号与其时间延迟版本之间相似性的度量。用R($\tau$)表示。

考虑信号 x(t)。x(t) 及其时间延迟版本的自相关函数由下式给出

$$ R_{11} (\tau) = R (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau) dt \quad \quad \text{[+ ve 转变]} $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) dt \quad \quad \text{[-ve 移位]} $$

其中$\tau$ = 搜索或扫描或延迟参数。

如果信号是复数，则自相关函数由下式给出

$$ R_{11} (\tau) = R (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x * (t-\tau) dt \quad \quad \text{[ +ve 转变]} $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau)x * (t) dt \quad \quad \text{[-ve 移位] } $$

能量信号自相关函数的性质

自相关表现出共轭对称性，即 R ($\tau$) = R*(-$\tau$)
原点处（即 $\tau$=0 处）能量信号的自相关函数等于该信号的总能量，如下所示：

R (0) = E = $ \int_{-\infty}^{\infty}\,|\,x(t)\,|^2\,dt $
自相关函数 $\infty {1 \over \tau} $,
自相关函数在 $\tau$=0 时最大，即 |R ($\tau$) | ≤ R (0) ∀ $\tau$
自相关函数和能谱密度是傅立叶变换对。IE

$FT\,[ R (\tau) ] = \Psi(\omega)$

$\Psi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R (\tau) e^{-j\omega \tau} d \tau$
$ R (\tau) = x (\tau)* x(-\tau) $

功率信号的自相关函数

周期功率信号与周期 T 的自相关函数由下式给出

$$ R (\tau) = \lim_{T \to \infty} {1\over T} \int_{{-T \over 2}}^{{T \over 2}}\, x(t) x * (t-\tau) dt $$

特性

功率信号的自相关表现出共轭对称性，即 $ R (\tau) = R*(-\tau)$
$\tau = 0$（原点）处功率信号的自相关函数等于该信号的总功率。IE

$R (0)= \rho $
功率信号的自相关函数$\infty {1 \over \tau}$，
功率信号的自相关函数在 $\tau$ = 0 时最大，即

$ | R (\tau) | \leq R (0)\, \forall \,\tau$
自相关函数和功率谱密度是傅里叶变换对。IE，

$FT[ R (\tau) ] = s(\omega)$

$s(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R (\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau$
$R (\tau) = x (\tau)* x(-\tau) $

密度谱

让我们看看密度谱：

能量密度谱

能量密度谱可以使用以下公式计算：

$$ E = \int_{-\infty}^{\infty} |\,x(f)\,|^2 df $$

功率密度谱

功率密度谱可以使用以下公式计算：

$$P = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty}\, |\,C_n |^2 $$

互相关函数

互相关是两个不同信号之间相似性的度量。

考虑两个信号 x ₁ (t) 和 x ₂ (t)。这两个信号 $R_{12}(\tau)$ 的互相关由下式给出

$$R_{12} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2 (t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[+ve 移位]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t+\tau)x_2 (t)\, dt \quad \quad \text{[-ve 移位]}$$

如果信号很复杂那么

$$R_{12} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2^{*}(t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[+ ve 转变]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t+\tau)x_2^{*} (t)\, dt \quad \quad \text{[-ve 移位]}$ $

$$R_{21} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_2 (t)x_1^{*}(t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[+ ve 转变]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_2 (t+\tau)x_1^{*} (t)\, dt \quad \quad \text{[-ve 移位]}$ $

能量和功率信号互相关函数的性质

自相关表现出共轭对称性，即 $R_{12} (\tau) = R^*_{21} (-\tau)$。
互相关不像卷积那样可交换，即

$$ R_{12} (\tau) \neq R_{21} (-\tau) $$
如果 R ₁₂ (0) = 0 意味着，如果 $ \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t) x_2^* (t) dt = 0$，则称这两个信号是正交的。

对于功率信号如果 $ \lim_{T \to \infty} {1\over T} \int_{{-T \over 2}}^{{T \over 2}}\, x(t) x^* ( t)\,dt $ 则两个信号被称为正交。
互相关函数对应于一个信号的频谱与另一信号的频谱的复共轭的乘法。IE

$$ R_{12} (\tau) \leftarrow \rightarrow X_1(\omega) X_2^*(\omega)$$

这也称为相关定理。

帕塞瓦尔定理

能量信号的帕塞瓦尔定理指出，信号的总能量可以通过信号的频谱获得：

$ E = {1\over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega $

注意：如果信号具有能量 E，则该信号 x(at) 的时间缩放版本具有能量 E/a。