傅里叶级数

让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅立叶，法国数学家、物理学家；出生于法国欧塞尔。他初始化了傅里叶级数、傅里叶变换及其在传热和振动问题中的应用。傅里叶级数、傅里叶变换和傅里叶定律都是以他的名字命名的。

傅立叶级数

为了表示任何周期信号 x(t)，傅里叶开发了一种称为傅里叶级数的表达式。这是用正弦和余弦或指数的无限和来表示的。傅立叶级数使用正交条件。

如果信号满足条件 x (t) = x (t + T) 或 x (n) = x (n + N)，则称该信号是周期性的。

其中 T = 基本时间段，

ω ₀ = 基频 = 2π/T

有两种基本的周期信号：

$x(t) = \cos\omega_0t$（正弦）&

$x(t) = e^{j\omega_0 t} $（复指数）

这两个信号是周期性的，周期为$T= 2\pi/\omega_0$。

一组调和相关的复指数可以表示为 {$\phi_k (t)$}

$${ \phi_k (t)} = \{ e^{jk\omega_0t}\} = \{ e^{jk({2\pi \over T})t}\} \text{其中} \,k = 0 \pm 1, \pm 2 ..n \,\,\,.....(1) $$

所有这些信号都是周期性的，周期为 T

根据具有 n 的函数 x (t) 的正交信号空间近似，相互正交的函数由下式给出

$$x(t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_kk e^{jk\omega_0t} $$

其中$a_k$=傅立叶系数=近似系数。

该信号 x(t) 也是周期为 T 的周期性信号。

等式2表示周期信号x(t)的傅立叶级数表示。

k = 0 项是常数。

项 $k = \pm1$ 具有基频 $\omega_0$，称为第一^谐波。

项 $k = \pm2$ 具有基频 $2\omega_0$，称为二次^谐波，依此类推...

项 $k = ±n$ 具有基频 $n\omega0$，称为 n^次谐波。

我们知道 $x(t) = \Sigma_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} ...... (1)$

两边乘以 $e^{-jn\omega_0 t}$。然后

$$ x(t)e^{-jn\omega_0 t} = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} 。e^{-jn\omega_0 t} $$

考虑两边都是积分。

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{jk \omega_0 t} dt = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e ^{jk \omega_0 t} 。e^{-jn\omega_0 t}dt $$

$$ \quad \quad \quad \quad \,\, = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(kn) \omega_0 t} 。dt$$

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{jk \omega_0 t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \int_{0}^{T} e ^{j(kn) \omega_0 t} dt。\,\, ..... (2)$$

由欧拉公式，

$$ \int_{0}^{T} e^{j(kn) \omega_0 t} dt。= \int_{0}^{T} \cos(kn)\omega_0 dt + j \int_{0}^{T} \sin(kn)\omega_0t\,dt$$

$$ \int_{0}^{T} e^{j(kn) \omega_0 t} dt。= \left\{ \begin{array}{ll} T & \quad k = n \\ 0 & \quad k \neq n \end{array} \right。$$

因此，在方程 2 中，除 k = n 外，所有 k 值的积分均为零。将 k = n 代入等式 2。

$$\Rightarrow \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = a_n T $$

$$\Rightarrow a_n = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jn\omega_0 t} dt $$

将 n 替换为 k。

$$\Rightarrow a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jk\omega_0 t} dt$$

$$\因此 x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(kn) \omega_0 t} $$

$$\text{其中} a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jk\omega_0 t} dt $$