卡拉西奥多里定理

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设 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的任意集合。如果 $x \in Co\left ( S \right )$，则 $x \in Co\left ( x_1,x_2,...., x_n,x_{n+1} \right )$。

证明

由于 $x \in Co\left ( S\right )$，则 $x$ 表示为 S 中有限个点的凸组合，即

$x=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \lambda_jx_j,\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \lambda_j=1, \lambda_j \geq 0$ 和 $x_j \in S, \forall j \in \left ( 1,k \right )$

如果$k \leq n+1$，得到的结果显然是true。

如果 $k \geq n+1$，则 $\left ( x_2-x_1 \right )\left ( x_3-x_1 \right ),....., \left ( x_k-x_1 \right )$ 是线性相关的。

$\Rightarrow \exists \mu _j \in \mathbb{R}, 2\leq j\leq k$ (不全为零)使得 $\displaystyle\sum\limits_{j=2}^k \mu _j\left ( x_j-x_1 \right )=0$

定义$\mu_1=-\displaystyle\sum\limits_{j=2}^k \mu _j$，则$\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \mu_j x_j=0, \displaystyle\sum\限制_{j=1}^k \mu_j=0$

其中并非所有 $\mu_j's$ 都等于 0。由于 $\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \mu_j=0$，至少 $\mu_j > 0,1 \leq j \leq k$ 之一

然后，$x=\displaystyle\sum\limits_{1}^k \lambda_j x_j+0$

$x=\displaystyle\sum\limits_{1}^k \lambda_j x_j- \alpha \displaystyle\sum\limits_{1}^k \mu_j x_j$

$x=\displaystyle\sum\limits_{1}^k\left (\lambda_j- \alpha\mu_j \right )x_j $

选择 $\alpha$ 使得 $\alpha=min\left \{ \frac{\lambda_j}{\mu_j}, \mu_j\geq 0 \right \}=\frac{\lambda_j}{\mu _j},$对于某些 $i=1,2,...,k$

如果 $\mu_j\leq 0, \lambda_j-\alpha \mu_j\geq 0$

如果 $\mu_j> 0，则 \:\frac{\lambda _j}{\mu_j}\geq \frac{\lambda_i}{\mu _i}=\alpha \Rightarrow \lambda_j-\alpha \mu_j\geq 0， j=1,2,...k$

特别是，$\lambda_i-\alpha \mu_i=0$，根据 $\alpha$ 的定义

$x=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k \left ( \lambda_j- \alpha\mu_j\right )x_j$，其中

$\lambda_j- \alpha\mu_j\geq0$ 和 $\displaystyle\sum\limits_{j=1}^k\left ( \lambda_j- \alpha\mu_j\right )=1$ 和 $\lambda_i- \alpha\ mu_i=0$

因此，x可以表示为最多(k-1)个点的凸组合。

可以重复这个归约过程，直到 x 被表示为 (n+1) 个元素的凸组合。