拟凸函数和拟凹函数

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设 $f:S \rightarrow \mathbb{R}$ 其中 $S \subset \mathbb{R}^n$ 是非空凸集。函数 f 被称为拟凸函数，如果对于 S$ 中的每个 $x_1,x_2 \in S$，我们有 $f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\leq max\left \ { f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \},\lambda \in \left ( 0, 1 \right )$

例如，$f\left ( x \right )=x^{3}$

令 $f:S\rightarrow R $ 其中 $S\subset \mathbb{R}^n$ 是非空凸集。函数 f 被称为拟凸函数，如果对于 S$ 中的每个 $x_1, x_2 \in S$，我们有 $f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\geq min\left \ { f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}, \lambda \in \left ( 0, 1 \right )$

评论

• 每个凸函数都是拟凸函数，但反之则不然。
• 既是拟凸又是拟凹的函数称为拟单调函数。

定理

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 且 S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 是拟凸的当且仅当 $S_{\alpha} =\left ( x \in S:f\left ( x \right )\leq \alpha \right \}$ 对于每个实数 \alpha$ 都是凸的

证明

设 f 是 S 上的拟凸。

令$x_1,x_2 \in S_{\alpha}$ 因此$x_1,x_2 \in S$ 和$max \left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \} \leq \alpha$

设 $\lambda \in \left (0, 1 \right )$ 并设 $x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2\leq max \left \{ f\left ( x_1 \right ) ,f\left ( x_2 \right ) \right \}\Rightarrow x \in S$

因此，$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\leq max\left \{ f\left ( x_1 \right ), f\left ( x_2 \right ) \right \}\leq \阿尔法$

因此，$S_{\alpha}$ 是凸的。

交谈

令 $S_{\alpha}$ 对于每个 $\alpha$ 都是凸的

$x_1,x_2 \in S, \lambda \in \left ( 0,1\right )$

$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$

设 $x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$

对于 $x_1, x_2 \in S_{\alpha}, \alpha= max \left \{ f\left ( x_1 \right ), f\left ( x_2 \right ) \right \}$

$\Rightarrow \lambda x_1+\left (1-\lambda \right )x_2 \in S_{\alpha}$

$\Rightarrow f \left (\lambda x_1+\left (1-\lambda \right )x_2 \right )\leq \alpha$

由此证明。

定理

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 且 S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 是拟凹函数当且仅当 $S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )\geq \alpha \right \}$ 对于每个实数 $\ 都是凸函数阿尔法$。

定理

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 且 S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 是拟单调当且仅当 $S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )= \alpha \right \}$ 对于每个实数 $\alpha 都是凸的$。