凸优化 - 锥体

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如果 $x \in C\Rightarrow \lambda x \in C \forall \lambda \geq 0$，$\mathbb{R}^n$ 中的非空集合 C 被称为顶点为 0 的圆锥体。

如果集合 C 既是凸锥又是凸锥，则它是凸锥。

例如，$y=\left | x \right |$ 不是凸锥，因为它不是凸的。

但是，$y \geq \left | x \right |$ 是凸锥体，因为它既是凸锥体又是锥体。

注意- 锥体 C 是凸的当且仅当对于任何 $x,y \in C, x+y \in C$。

证明

由于 C 是圆锥体，对于 $x,y \in C \Rightarrow \lambda x \in C$ 和 $\mu y \in C \:\forall \:\lambda, \mu \geq 0$

C 是凸的，如果 $\lambda x + \left ( 1-\lambda \right )y \in C \: \forall \:\lambda \in \left ( 0, 1 \right )$

由于 C 是圆锥体，因此 $\lambda x \in C$ 和 $\left ( 1-\lambda \right )y \in C \Leftrightarrow x,y \in C$

因此 C 是凸的，如果 $x+y \in C$

一般来说，如果 $x_1,x_2 \in C$，则 $\lambda_1x_1+\lambda_2x_2 \in C, \forall \lambda_1,\lambda_2 \geq 0$

例子

• $\mathbb{R}^n$ 中无限向量集的圆锥组合是凸圆锥。

• 任何空集都是凸锥体。

• 任何线性函数都是凸锥体。

• 由于超平面是线性的，因此它也是凸锥体。

• 闭半空间也是凸锥体。

注- 两个凸锥体的交集是凸锥体，但它们的并集可能是也可能不是凸锥体。