伪凸函数

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则 f 被称为伪凸，如果对于每个 $x_1， x_2 \in S$ 与 $\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$，我们有 $f\left ( x_2 \right )\geq f\left ( x_1 \right )$，或者等效地如果 $f\left ( x_1 \right )>f\left ( x_2 \right )$ 则 $\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )<0$

伪凹函数

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则 f 被称为伪凸，如果对于每个 $x_1， x_2 \in S$ 与 $\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$，我们有 $f\left ( x_2 \right )\leq f\left ( x_1 \right )$，或者等效地如果 $f\left ( x_1 \right )>f\left ( x_2 \right )$ 则 $\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )>0$

评论

  • 如果一个函数既是伪凸函数又是伪凹函数，则称为伪线性函数。

  • 可微凸函数也是伪凸函数。

  • 伪凸函数可能不是凸函数。例如，

    $f\left ( x \right )=x+x^3$ 不是凸的。如果 $x_1 \leq x_2,x_{1}^{3} \leq x_{2}^{3}$

    因此，$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )=\left ( 1+3x_{1}^{2} \right )\left ( x_2-x_1 \right ) \geq 0$

    并且，$f\left ( x_2 \right )-f\left ( x_1 \right )=\left ( x_2-x_1 \right )+\left ( x_{2}^{3} -x_{1}^{3 }\右)\geq 0$

    $\右箭头 f\left ( x_2 \right )\geq f\left ( x_1 \right )$

    因此，它是伪凸的。

    伪凸函数是严格拟凸函数。因此，伪凸的每个局部最小值也是全局最小值。

严格伪凸函数

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则 f 被称为伪凸，如果对于每个 $x_1， x_2 \in S$ 与 $\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$，我们有 $f\left ( x_2 \right )> f\left ( x_1 \right )$，或者等效地如果 $f\left ( x_1 \right )\geq f\left ( x_2 \right )$ 则 $\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )<0$

定理

设 f 为伪凸函数，假设 $\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )=0$ 对于某些 $\hat{x} \in S$，则 $\hat{x}$ 是全局最优的f 对 S 的解。

证明

设$\hat{x}$为f的临界点，即$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )=0$

由于 f 是伪凸函数，对于 $x \in S,$ 我们有

$$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )\left ( x-\hat{x}\right )=0 \Rightarrow f\left ( \hat{x}\right )\leq f\left ( x\right ), \forall x \in S$$

因此，$\hat{x}$ 是全局最优解。

评论

如果f是严格的伪凸函数，则$\hat{x}$是唯一的全局最优解。

定理

如果 f 是 S 上可微的伪凸函数，则 f 既是严格拟凸函数又是拟凸函数。

评论

  • 在 $\mathbb{R}^n$ 的开集 S 上定义的两个伪凸函数之和可能不是伪凸函数。

  • 设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 为拟凸函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 的非空凸子集，则 f 为伪凸当且仅当每个临界点都是全局的f 相对于 S 的最小值。

  • 设 S 为 $\mathbb{R}^n$ 的非空凸子集，$f:S\rightarrow \mathbb{R}$ 为满足 $\bigtriangledown f\left ( x\right )\neq 的函数0$ 对于每个 $x \in S$ 则 f 是伪凸函数当且仅当它是拟凸函数。