凸优化 - 方向

令 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的闭凸集。非零向量 $d \in \mathbb{R}^n$ 称为 S 的方向，如果对于每个 $x \in S,x+\lambda d \in S, \forall \lambda \geq 0.$

• 如果 $d \neq \alpha d_2$ for $ \alpha>0$，则 S 的两个方向 $d_1$ 和 $d_2$ 被称为不同的。

• 如果 $S$ 的方向 $d$ 不能写成两个不同方向的正线性组合，则称其为极端方向，即，如果 $d=\lambda _1d_1+\lambda _2d_2$ 对于 $\lambda _1, \ lambda _2>0$，则 $d_1= \alpha d_2$ 对于某些 $\alpha$。

• 任何其他方向都可以表示为极值方向的正组合。

• 对于凸集 $S$，使得 $x+\lambda d \in S$ 对于某些 $x \in S$ 和所有 $\lambda \geq0$ 的方向 d 称为 $S$ 的隐性。

• 设 E 为 $\mathbb{R}^n$ 中非空凸集 S 上的某个函数 $f:S \rightarrow$ 达到最大值的点的集合，则 $E$ 称为$S$。暴露面的方向称为暴露方向。

• 方向为极值方向的射线称为极值射线。

例子

考虑函数 $f\left ( x \right )=y=\left |x \right |$，其中 $x \in \mathbb{R}^n$。设 d 为 $\mathbb{R}^n$ 中的单位向量

那么，d 就是函数 f 的方向，因为对于任何 $\lambda \geq 0，x+\lambda d \in f\left ( x \right )$。