凸集的极值点

令 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的凸集。向量 $x \in S$ 被称为 S 的极值点，如果 $x= \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$ 且 $x_1, x_2 \in S$ 和 $\lambda \ in\left ( 0, 1 \right )\Rightarrow x=x_1=x_2$。

例子

步骤 1 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 \right ) \in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1 \对\}$

极值点，$E=\left \{ \left ( x_1, x_2 \right )\in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 1 \right \}$

步骤 2 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 \right )\in \mathbb{R}^2:x_1+x_2< 2, -x_1+2x_2\leq 2, x_1,x_2\geq 0 \对\}$

极值点，$E=\left \{ \left ( 0, 0 \right), \left ( 2, 0 \right), \left ( 0, 1 \right), \left ( \frac{2}{3 }, \frac{4}{3} \right) \right \}$

步骤 3 - S 是由点 $\left \{ \left ( 0,0 \right ), \left ( 1,1 \right ), \left ( 1,3 \right ), \left ( - 2,4 \right ),\left ( 0,2 \right ) \right \}$

极值点，$E=\left \{ \left ( 0,0 \right ), \left ( 1,1 \right ),\left ( 1,3 \right ),\left ( -2,4 \right ) \右\}$

评论

• 凸集S的任意点都可以表示为其极值点的凸组合。

• 仅适用于 $\mathbb{R}^n$ 中的闭集和有界集。

• 对于无界集合来说可能不成立。

k个极值点

凸集中的点称为k极值当且仅当它是S内k维凸集的内点，并且不是S内(k+1)维凸集的内点。基本上，对于凸集 S，k 个极值点构成 k 维开放面。