严格拟凸函数

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设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$ 且 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则 f 被称为严格拟凸函数，如果对于每个 $x_1,x_2 \在 S$ 中，$f\left ( x_1 \right ) \neq f\left ( x_2 \right )$，我们有 $f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right ) < 最大值 \:\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}$

评论

• 每个严格拟凸函数都是严格凸的。
• 严格拟凸函数并不意味着拟凸函数。
• 严格拟凸函数可能不是强拟凸函数。
• 伪凸函数是严格的拟凸函数。

定理

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$ 为严格拟凸函数，S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。考虑问题： $min \:f\left ( x \right ), x \in S$。如果$\hat{x}$是局部最优解，则$\bar{x}$是全局最优解。

证明

设 S$ 中存在 $ \bar{x} \，使得 $f\left ( \bar{x}\right )\leq f \left ( \hat{x}\right )$

由于 $\bar{x},\hat{x} \in S$ 且 S 是凸集，因此，

$$\lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x}\in S, \forall \lambda \in \left ( 0,1 \right )$$

由于 $\hat{x}$ 是局部最小值，$f\left ( \hat{x} \right ) \leq f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\ hat{x} \right ), \forall \lambda \in \left ( 0,\delta \right )$

由于 f 是严格拟凸的。

$$f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x} \right )< max \left \{ f\left ( \hat{x} \right ) ,f\left ( \bar{x} \right ) \right \}=f\left ( \hat{x} \right )$$

因此，这是矛盾的。

严格拟凹函数

设 $f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$ 且 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则 f 被称为严格拟凸函数，如果对于每个 $x_1， x_2 \in S$ 与 $f\left (x_1\right )\neq f\left (x_2\right )$，我们有

$$f\left (\lambda x_1+\left (1-\lambda\right )x_2\right )> min \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \} $$。

例子

• $f\左(x\右)=x^2-2$

  它是一个严格的拟凸函数，因为如果我们在域中取任意两点 $x_1,x_2$ 满足定义 $f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda\right )x_2\right ) 中的约束< max \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$ 由于函数在负 x 轴上递减，并且在正 x 轴上递增 (因为它是抛物线）。

• $f\左(x\右)=-x^2$

  它不是一个严格的拟凸函数，因为如果我们取 $x_1=1$ 和 $x_2=-1$ 和 $\lambda=0.5$，则 $f\left (x_1\right )=-1=f\left ( x_2\right )$ 但 $f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda\right )x_2\right )=0$ 因此不满足定义中所述的条件。但它是一个拟凹函数，因为如果我们在域中取任意两点满足定义中的约束 $f\left ( \lambda x_1+\left (1-\lambda\right )x_2\right )> min \left \ { f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$. 由于函数在负 x 轴上增加，并且在正 x 轴上减少。