SymPy - 矩阵

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在数学中，矩阵是数字、符号或表达式的二维数组。矩阵运算理论涉及在遵守某些规则的情况下对矩阵对象执行算术运算。

线性变换是矩阵的重要应用之一。许多科学领域，特别是与物理学相关的领域都使用矩阵相关的应用程序。

SymPy 包具有处理矩阵处理的矩阵模块。它包括 Matrix 类，其对象表示矩阵。

注意：如果您想单独执行本章中的所有片段，您需要导入矩阵模块，如下所示 -

>>> from sympy.matrices import Matrix

例子

>>> from sympy.matrices import Matrix 
>>> m=Matrix([[1,2,3],[2,3,1]]) 
>>> m
$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$

在 python shell 中执行上述命令时，将生成以下输出 -

[1 2 3 2 3 1]

矩阵是从适当大小的列表对象创建的。您还可以通过将列表项分布在指定数量的行和列中来获取矩阵。

>>> M=Matrix(2,3,[10,40,30,2,6,9]) 
>>> M
$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 40 & 30\\2 & 6 & 9\end{matrix}\right]$

在 python shell 中执行上述命令时，将生成以下输出 -

[10 40 30 2 6 9]

矩阵是一个可变对象。矩阵模块还提供了 ImmutableMatrix 类来获取不可变矩阵。

基本操控

Matrix 对象的shape属性返回其大小。

>>> M.shape

上述代码的输出如下 -

(2,3)

row() 和 col() 方法分别返回指定数量的行或列。

>>> M.row(0)
$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 40 & 30\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[10 40 30]

>>> M.col(1)
$\displaystyle \left[\begin{matrix}40\\6\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[40 6]

使用 Python 的切片运算符来获取属于行或列的一项或多项。

>>> M.row(1)[1:3]
[6, 9]

Matrix 类具有 row_del() 和 col_del() 方法，可从给定矩阵中删除指定的行/列 -

>>> M=Matrix(2,3,[10,40,30,2,6,9]) 
>>> M.col_del(1) 
>>> M

在 python shell 中执行上述命令时，将生成以下输出 -

Matrix([[10, 30],[ 2, 9]])

您可以使用以下命令将样式应用于输出 -

$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 30\\2 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出 -

[10 30 2 9]

>>> M.row_del(0) 
>>> M

$\displaystyle \left[\begin{matrix}2 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出 -

[2 9]

类似地，row_insert() 和 col_insert() 方法在指定的行或列索引处添加行或列

>>> M1=Matrix([[10,30]]) 
>>> M=M.row_insert(0,M1)
>>> M

$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 30\\2 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出 -

[10 40 30 2 9]

>>> M2=Matrix([40,6]) 
>>> M=M.col_insert(1,M2) 
>>> M

$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 40 & 30\\2 & 6 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出 -

[10 40 30 6 9]

算术运算

定义常用运算符 +、- 和 * 来执行加法、减法和乘法。

>>> M1=Matrix([[1,2,3],[3,2,1]]) 
>>> M2=Matrix([[4,5,6],[6,5,4]]) 
>>> M1+M2

$\displaystyle \left[\begin{matrix}5 & 7 & 9\\9 & 7 & 5\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出 -

[5 7 9 9 7 5]

>>> M1-M2
$\displaystyle \left[\begin{matrix}-3 & -3 & -3\\-3 & -3 & -3\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出 -

[- 3 -3 -3 -3 -3 -3]

仅当满足以下条件时，矩阵乘法才可行： - 第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。- 结果将具有与第一个矩阵相同的行数，以及与第二个矩阵相同的列数。

>>> M1=Matrix([[1,2,3],[3,2,1]]) 
>>> M2=Matrix([[4,5],[6,6],[5,4]]) 
>>> M1*M2
$\displaystyle \left[\begin{matrix}31 & 29\\29 & 31\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[31 29 29 31]

>>> M1.T
$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 3\\2 & 2\\3 & 1\end{matrix}\right]$

执行代码后获得以下输出 -

[1 3 2 2 3 1]

要计算矩阵的行列式，请使用 det() 方法。行列式是一个标量值，可以根据方阵的元素计算出来。0

>>> M=Matrix(3,3,[10,20,30,5,8,12,9,6,15])
>>> M
$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 20 & 30\\5 & 8 & 12\\9 & 6 & 15\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[10 20 30 5 8 12 9 6 15]

>>> M.det()

上述代码的输出如下 -

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矩阵构造函数

SymPy 提供了许多特殊类型的矩阵类。例如，单位矩阵、全零和全一的矩阵等。这些类分别被命名为eye、zeros和one。单位矩阵是一个方阵，对角线上的元素设置为1，其余元素设置为0。

例子

from sympy.matrices import eye eye(3)

输出

Matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[1 0 0 0 1 0 0 0 1]

在对角矩阵中，对角线上的元素根据提供的参数进行初始化。

>>> from sympy.matrices import diag 
>>> diag(1,2,3)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[1 0 0 0 2 0 0 0 3]

零矩阵中的所有元素都初始化为 0。

>>> from sympy.matrices import zeros 
>>> zeros(2,3)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[0 0 0 0 0 0]

同样，ones 是所有元素都设置为 1 的矩阵。

>>> from sympy.matrices import ones
>>> ones(2,3)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下 -

[1 1 1 1 1 1]