SymPy - 简化

Sympy 具有强大的简化数学表达式的能力。SymPy 中有许多函数可以执行各种简化。一个名为 simple() 的通用函数尝试得出表达式的最简单形式。

简化

该函数在 sympy.simplify 模块中定义。simple() 尝试应用智能启发法使输入表达式“更简单”。以下代码显示了简化表达式 $sin^2(x)+cos^2(x)$。

>>> from sympy import * 
>>> x=Symbol('x')
>>> expr=sin(x)**2 + cos(x)**2 
>>> simplify(expr)

上面的代码片段给出了以下输出 -

扩张

Expand() 是 SymPy 中最常见的简化函数之一，用于展开多项式表达式。例如 -

>>> a,b=symbols('a b') 
>>> expand((a+b)**2)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$a^2 + 2ab + b^2$

>>> expand((a+b)*(a-b))

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$a^2 - b^2$

Expand() 函数使表达式变大，而不是变小。通常情况就是这样，但在调用 Expand() 时，表达式通常会变得更小。

>>> expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)

上面的代码片段给出了以下输出 -

-2

因素

该函数采用多项式并将其分解为有理数上的不可约因子。

>>> x,y,z=symbols('x y z') 
>>> expr=(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z) 
>>> factor(expr)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$z(x + 2y)^2$

>>> factor(x**2+2*x+1)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$(x + 1)^2$

Factor() 函数与expand() 相反。Factor() 返回的每个因子都保证是不可约的。Factor_list() 函数返回更结构化的输出。

>>> expr=(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z) 
>>> factor_list(expr)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])

收集

此函数收集表达式的加法项，该表达式涉及到有理指数幂的表达式列表。

>>> expr=x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3 
>>> expr

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x^3 + x^2z + 2x^2 + xy + x - 3$

该表达式上的collect()函数结果如下 -

>>> collect(expr,x)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x^3 + x^2(2 - z) + x(y + 1) - 3$

>>> expr=y**2*x + 4*x*y*z + 4*y**2*z+y**3+2*x*y 
>>> collect(expr,y)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$Y^3+Y^2(x+4z)+y(4xz+2x)$

取消

cancel() 函数将采用任何有理函数并将其放入标准规范形式 p/q，其中 p 和 q 是没有公因子的展开多项式。p 和 q 的前导系数没有分母，即它们是整数。

>>> expr1=x**2+2*x+1 
>>> expr2=x+1 
>>> cancel(expr1/expr2)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x+1$

>>> expr = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4) 
>>> expr

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{\frac{3x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}$

>>> cancel(expr)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{3x^2 - 2x - 8}{2x^2 - 8}$

>>> expr=1/sin(x)**2 
>>> expr1=sin(x) 
>>> cancel(expr1*expr)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{1}{\sin(x)}$

特里格辛普

该函数用于简化三角恒等式。可能需要注意的是，反三角函数的命名约定是在函数名称前面附加 a。例如，反余弦或反余弦称为 acos()。

>>> from sympy import trigsimp, sin, cos 
>>> from sympy.abc import x, y
>>> expr = 2*sin(x)**2 + 2*cos(x)**2 
>>> trigsimp(expr)

trigsimp 函数使用启发式方法来应用最合适的三角恒等式。

功率简化

该函数通过组合具有相似底数和指数的幂来简化给定的表达式。

>>> expr=x**y*x**z*y**z 
>>> expr

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x^yx^zy^z$

>>> powsimp(expr)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x^{y+z} y^z$

您可以通过更改combine='base'或combine='exp'来使powsimp()仅组合基数或仅组合指数。默认情况下，combine='all'，两者兼而有之。如果force为True，则将组合碱基而不检查假设。

>>> powsimp(expr, combine='base', force=True)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x^y(xy)^z$

梳子

涉及阶乘和二项式的组合表达式可以使用combsimp()函数进行简化。SymPy提供了一个factorial()函数

>>> expr=factorial(x)/factorial(x - 3) 
>>> expr

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{x!}{(x - 3)!}$

为了简化上面的组合表达式，我们使用 Combsimp() 函数，如下所示 -

>>> combsimp(expr)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$x(x-2)(x-1)$

二项式(x, y) 是从一组 x 个不同项目中选择 y 个项目的方法数。它也常写为 xCy。

>>> binomial(x,y)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$(\frac{x}{y})$

>>> combsimp(binomial(x+1, y+1)/binomial(x, y))

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\frac{x + 1}{y + 1}$

对数组合

该函数采用对数并使用以下规则组合它们 -

log(x) + log(y) == log(x*y) 如果两者均为正数
a*log(x) == log(x**a) 如果 x 为正且 a 为实数

>>> logcombine(a*log(x) + log(y) - log(z))

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$a\log(x) + \log(y) - \log(z)$

如果该函数的力参数设置为 True，则在数量上没有假设的情况下，上述假设将被假设成立。

>>> logcombine(a*log(x) + log(y) - log(z), force=True)

上面的代码片段给出了相当于下面表达式的输出 -

$\log\frac{x^ay}{z}$