算法设计与分析

在算法的理论分析中，通常会估计渐进意义上的复杂度，即估计任意大输入的复杂度函数。“算法分析”一词是由唐纳德·高德纳 (Donald Knuth) 创造的。

算法分析是计算复杂性理论的重要组成部分，它为算法解决特定计算问题所需的资源提供理论估计。大多数算法都设计用于处理任意长度的输入。算法分析是确定执行算法所需的时间和空间资源量。

通常，算法的效率或运行时间被表述为输入长度与步骤数（称为时间复杂度）或内存量（称为空间复杂度）相关的函数。

分析的必要性

在本章中，我们将讨论算法分析的必要性以及如何为特定问题选择更好的算法，因为一个计算问题可以通过不同的算法来解决。

通过考虑针对特定问题的算法，我们可以开始开发模式识别，以便可以借助该算法解决类似类型的问题。

尽管这些算法的目标是相同的，但算法通常彼此有很大不同。例如，我们知道可以使用不同的算法对一组数字进行排序。对于同一输入，一种算法执行的比较次数可能会因其他算法而异。因此，这些算法的时间复杂度可能不同。同时，我们需要计算每个算法所需要的内存空间。

算法分析是从所需的时间和大小（实现时存储的内存大小）来分析算法解决问题的能力的过程。然而，算法分析的主要关注点是所需的时间或性能。一般来说，我们执行以下类型的分析 -

最坏情况- 在任何大小为a的实例上采取的最大步数。
最佳情况- 在任何大小为a的实例上采取的最小步数。
平均情况- 在任何大小为a的实例上采取的平均步数。
摊销- 应用于随时间平均大小a的输入的一系列操作。

为了解决问题，我们需要考虑时间和空间复杂度，因为程序可能在内存有限但有足够空间可用的系统上运行，反之亦然。在这种情况下，如果我们比较冒泡排序和归并排序。冒泡排序不需要额外的内存，但合并排序需要额外的空间。虽然冒泡排序的时间复杂度比归并排序更高，但如果程序需要在内存非常有限的环境中运行，我们可能需要应用冒泡排序。

增长率

增长率定义为当输入大小增加时算法运行时间增加的速率。

增长率可分为两种类型：线性增长率和指数增长率。如果算法随着输入大小的增加以线性方式增加，则为线性增长率。而如果算法的运行时间随着输入大小的增加而呈指数增长，那就是指数增长率。

证明算法的正确性

一旦设计了算法来解决问题，算法始终为给定的每个输入返回所需的输出就变得非常重要。因此，需要证明所设计的算法的正确性。这可以使用各种方法来完成 -

反例证明

确定该算法可能不正确的情况并适用。如果反例适用于该算法，则证明其正确性。否则，必须设计另一种算法来解决这个反例。

归纳证明

使用数学归纳法，我们可以通过证明算法对于基本情况输入（例如 1）是正确的，并假设它对于另一个输入 k 是正确的，然后证明它对于 k+1 是正确的，来证明算法对于所有输入都是正确的。

循环不变式证明

找到循环不变式 k，证明基本情况对于算法中的循环不变式成立。然后应用数学归纳法证明算法的其余部分是正确的。