数学归纳法

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数学归纳法是一种证明结果或建立自然数陈述的技术。本部分通过各种示例说明该方法。

定义

数学归纳法是一种数学技术，用于证明一个陈述、一个公式或一个定理对于每个自然数都是正确的。

该技术涉及两个步骤来证明一个陈述，如下所述 -

步骤 1（基本步骤） - 证明一个陈述对于初始值是正确的。

步骤 2（归纳步骤） - 证明如果该陈述对于第 n^次迭代（或数字n ）为真，则对于第(n+1)^次迭代（或数字n+1）也为真。

怎么做

步骤 1 - 考虑该陈述成立的初始值。需要证明，当 n = 初始值时，该陈述成立。

步骤 2 - 假设该陈述对于n = k的任何值都成立。然后证明该陈述对于n = k+1成立。我们实际上将n = k+1分成两部分，一部分是n = k（已经证明）并尝试证明另一部分。

问题1

$3^n-1$ 是 2 的倍数，n = 1, 2, ...

解决方案

步骤 1 - 对于 $n = 1, 3^1-1 = 3-1 = 2$，它是 2 的倍数

步骤 2 - 让我们假设 $3^n-1$ 对于 $n=k$ 为真，因此，$3^k -1$ 为真（这是一个假设）

我们必须证明 $3^{k+1}-1$ 也是 2 的倍数

$3^{k+1} - 1 = 3 \times 3^k - 1 = (2 \times 3^k) + (3^k - 1)$

第一部分 $(2 \times 3k)$ 肯定是 2 的倍数，第二部分 $(3k -1)$ 也符合我们之前的假设。

因此，$3^{k+1} – 1$ 是 2 的倍数。

因此，证明$3^n – 1$是2的倍数。

问题2

$1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2$ 对于 $n = 1, 2, \dots $

解决方案

步骤 1 - 对于 $n=1, 1 = 1^2$，因此，满足步骤 1。

步骤 2 - 让我们假设该陈述对于 $n=k$ 成立。

因此， $1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2$ 为真（这是一个假设）

我们必须证明 $1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)-1) = (k+1)^2$ 也成立

$1 + 3 + 5 + \点 + (2(k+1) - 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \点 + (2k+2 - 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \点 + (2k + 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \点 + (2k - 1) + (2k + 1)$

$= k^2 + (2k + 1)$

$= (k + 1)^2$

因此，$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2$ 成立，满足步骤 2。

因此，$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ 得证。

问题3

证明 $(ab)^n = a^nb^n$ 对于每个自然数 $n$ 都成立

解决方案

步骤 1 - 对于 $n=1，(ab)^1 = a^1b^1 = ab$，因此，满足步骤 1。

步骤 2 - 让我们假设该陈述对于 $n=k$ 为真，因此，$(ab)^k = a^kb^k$ 为真（这是一个假设）。

我们必须证明 $(ab)^{k+1} = a^{k+1}b^{k+1}$ 也成立

给定$(ab)^k = a^kb^k$

或者，$(ab)^k (ab) = (a^kb^k ) (ab)$ [两边都乘以'ab']

或者，$(ab)^{k+1} = (aa^k) ( bb^k)$

或者，$(ab)^{k+1} = (a^{k+1}b^{k+1})$

至此，步骤2得证。

因此，$(ab)^n = a^nb^n$对于每个自然数 n 都成立。

强感应

强归纳法是数学归纳法的另一种形式。通过这种归纳技术，我们可以使用以下步骤证明命题函数 $P(n)$ 对于所有正整数 $n$ 都成立 -

• 步骤 1（基本步骤） - 证明初始命题 $P(1)$ 为真。

• 步骤 2（归纳步骤） - 证明条件语句 $[P(1) \land P(2) \land P(3) \land \dots \land P(k)] → P(k + 1)$对于正整数 $k$ 成立。