离散数学 - 推理规则
为了从我们已经知道真相的陈述中推导出新的陈述，使用了推理规则。
推理规则有什么用？
数理逻辑经常用于逻辑证明。证明是确定数学陈述真值的有效论据。
参数是一系列陈述。最后一个陈述是结论，其前面的所有陈述称为前提（或假设）。符号“$\therefore$”（读作“therefore”）放在结论之前。有效的论证是根据前提的真值得出结论的论证。
推理规则提供了根据我们已有的陈述构建有效论证的模板或指南。
推理规则表
| 推理规则 | 姓名 | 推理规则 | 姓名 |
|---|---|---|---|
$$\begin{矩阵} P \\ \hline \因此 P \lor Q \end{矩阵}$$ |
添加 |
$$\begin{矩阵} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end{矩阵}$$ |
析取三段论 |
$$\begin{矩阵} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q \end{矩阵}$$ |
连词 |
$$\begin{矩阵} P \rightarrow Q \\ Q \rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R \end{矩阵}$$ |
假设三段论 |
$$\begin{矩阵} P \land Q\\ \hline \因此 P \end{矩阵}$$ |
简化 |
$$\begin{矩阵} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end{矩阵}$$ |
建设性困境 |
$$\begin{矩阵} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{矩阵}$$ |
波南斯作案 |
$$\begin{矩阵} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{矩阵} $$ |
破坏性困境 |
$$\begin{矩阵} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{矩阵}$$ |
托伦斯作案 |
添加
如果P是前提，我们可以利用加法法则推导出$P\lorQ$。
$$\begin{矩阵} P \\ \hline \因此 P \lor Q \end{矩阵}$$
例子
设 P 为命题，“他学习非常努力”为真
因此 - “要么他学习非常努力，要么他是一个非常糟糕的学生。” 这里Q是命题“他是一个非常糟糕的学生”。
连词
如果P和Q是两个前提，我们可以使用合取规则来推导$ P \land Q $。
$$\begin{矩阵} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q \end{矩阵}$$
例子
让P - “他学习非常努力”
让 Q - “他是班上最好的男孩”
因此 - “他学习非常努力，他是班上最好的男孩”
简化
如果$P \land Q$是前提，我们可以使用简化规则来推导P。
$$\begin{矩阵} P \land Q\\ \hline \因此 P \end{矩阵}$$
例子
“他学习很努力，是班上最好的男孩”，$P \land Q$
因此 - “他学习非常努力”
波南斯作案
如果 P 和 $P \rightarrow Q$ 是两个前提，我们可以使用 Modus Ponens 来推导 Q。
$$\begin{矩阵} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{矩阵}$$
例子
“如果你有密码，那么你就可以登录facebook”，$P \rightarrow Q$
“你有密码”，P
因此 - “你可以登录 Facebook”
托伦斯作案
如果 $P \rightarrow Q$ 和 $\lnot Q$ 是两个前提，我们可以使用 Modus Tollens 推导 $\lnot P$。
$$\begin{矩阵} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{矩阵}$$
例子
“如果你有密码，那么你就可以登录facebook”，$P \rightarrow Q$
“您无法登录 Facebook”，$\lnot Q$
因此 - “您没有密码”
析取三段论
如果 $\lnot P$ 和 $P \lor Q$ 是两个前提，我们可以使用析取三段论导出 Q。
$$\begin{矩阵} \lnot P \\ P \lor Q \\ \hline \therefore Q \end{矩阵}$$
例子
“冰淇淋不是香草味的”，$\lnot P$
“冰淇淋要么是香草味的，要么是巧克力味的”，$P \lor Q$
因此 - “冰淇淋是巧克力味的”
假设三段论
如果 $P \rightarrow Q$ 和 $Q \rightarrow R$ 是两个前提，我们可以使用假设三段论推导 $P \rightarrow R$
$$\begin{矩阵} P \rightarrow Q \\ Q \rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R \end{矩阵}$$
例子
“如果下雨，我就不去上学”，$P \rightarrow Q$
“如果我不去学校，我就不需要做作业”，$Q \rightarrow R$
因此 - “如果下雨，我就不需要做作业了”
建设性困境
如果 $( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S)$ 和 $P \lor R$ 是两个前提，我们可以使用构造性困境推导 $Q \lor S$。
$$\begin{矩阵} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end{矩阵}$$
例子
“如果下雨，我就请假”，$( P \rightarrow Q )$
“如果外面很热，我会去洗澡”，$(R \rightarrow S)$
“要么会下雨，要么外面很热”，$P \lor R$
因此 - “我要请假或者去洗澡”
破坏性困境
如果 $(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S)$ 和 $ \lnot Q \lor \lnot S $ 是两个前提，我们可以利用破坏性困境推导出 $\lnot P \lor \lnot R$。
$$\begin{矩阵} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{矩阵} $$
例子
“如果下雨，我就请假”，$(P \rightarrow Q )$
“如果外面很热，我会去洗澡”，$(R \rightarrow S)$
“要么我就不请假，要么我就不去洗澡”，$\lnot Q \lor \lnot S$
因此 - “要么不下雨，要么外面不热”