算子与假设
群论是数学和抽象代数的一个分支，它定义了一种名为群的代数结构。一般而言，组由一组元素和对该组上任意两个元素的操作组成，以形成也在该组中的第三个元素。
1854年，英国数学家阿瑟·凯利（Arthur Cayley）首次给出了群的现代定义：
“一组全部不同的符号，并且其中任何两个的乘积（无论以什么顺序），或者其中任何一个的乘积属于该集合，被称为一个群。这些符号通常不可转换[可交换]，但具有关联性。”
在本章中，我们将了解构成集合论、群论和布尔代数基础知识的算子和假设。
数学系统中的任何元素集都可以用一组运算符和多个假设来定义。
在一组元素上定义的二元运算符是一种规则，它将该组中的唯一元素分配给每对元素。例如，给定集合 $ A = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \rbrace $，我们可以说 $\otimes$ 是操作 $c = a \otimes b$ 的二元运算符，如果它指定为 $(a,b)$ 对查找 c 的规则，使得 $a,b,c \in A$。
数学系统的假设构成了可以推导出规则的基本假设。假设是 -
关闭
如果对于集合中的每一对元素，该运算符从该集合中找到唯一的元素，则该集合相对于二元运算符是封闭的。
例子
设 $A = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$
该集合在二元运算符下封闭为 $(\ast)$，因为对于运算 $c = a \ast b$，对于任何 $a, b \in A$，乘积 $c \in A$。
该集合在二元运算符除法 $(\div)$ 下不是封闭的，因为对于运算 $c = a \div b$，对于任何 $a, b \in A$，乘积 c 可能不在集合中答：如果 $a = 7，b = 2$，则 $c = 3.5$。这里$a,b \in A$ 但$c \notin A$。
结合律
当集合 A 上的二元运算符 $\otimes$ 具有以下属性时，它是结合的 -
$(x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)$，其中 $x, y, z \in A $
例子
设 $A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$
运算符加 $( + )$ 是结合律，因为对于 A$ 中的任何三个元素 $x,y,z \，属性 $(x + y) + z = x + ( y + z )$ 成立。
运算符减去 $( - )$ 不具有结合性，因为
$$( x - y ) - z \ne x - ( y - z )$$
交换律
当集合 A 上的二元运算符 $\otimes$ 具有以下属性时，它是可交换的 -
$x \otimes y = y \otimes x$，其中 $x, y \in A$
例子
设 $A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$
运算符加 $( + )$ 是可交换的，因为对于 A$ 中的任意两个元素 $x,y \，属性 $x + y = y + x$ 成立。
运算符减去 $( - )$ 不具有结合性，因为
$$x - y \ne y - x$$
分配律
当以下属性成立时，集合 A 上的两个二元运算符 $\otimes$ 和 $\circledast$ 在运算符 $\circledast$ 上可分配 -
$x \otimes (y \circledast z) = (x \otimes y) \circledast (x \otimes z)$，其中 $x, y, z \in A $
例子
设 $A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$
运算符 $( * )$ 和 plus $( + )$ 对运算符 + 具有分配性，因为对于任意三个元素 $x,y,z \in A$，属性 $x * ( y + z ) = ( x * y ) + ( x * z )$ 成立。
然而，这些运算符在 $*$ 上不具有分配性，因为
$$x + ( y * z ) \ne ( x + y ) * ( x + z )$$
单位元
集合 A 对于 A 上的二元运算 $\otimes$ 有一个单位元，如果 A$ 中存在元素 $e \，则以下属性成立 -
$e \otimes x = x \otimes e$，其中 $x \in A$
例子
设 $Z = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$
元素 1 是关于操作 $*$ 的恒等元素，因为对于任何元素 $x \in Z$，
$$1 * x = x * 1$$
另一方面，减去 $( - )$ 的操作没有单位元
逆
如果集合 A 对于二元运算符 $\otimes $ 有一个单位元素 $e$，则只要对于每个元素 $x \in A$，都存在另一个元素 $y \in A$，则称其具有逆元，使得以下属性成立 -
$$x \otimes y = e$$
例子
设 $A = \lbrace \dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$
给定运算加上 $( + )$ 和 $e = 0$，任何元素 x 的逆都是 $(-x)$，因为 $x + (x) = 0$
德摩根定律
德摩根定律根据补集给出了两个（或多个）集合的并集和交集之间的一对变换。法律是 -
$$(A \cup B)' = A' \cap B'$$
$$(A \cap B)' = A' \cup B'$$
例子
设 $A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace ，B = \lbrace 1, 3, 5, 7 \rbrace$，并且
通用集 $U = \lbrace 1, 2, 3, \dots, 9, 10 \rbrace$
$A' = \lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$
$B' = \lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \rbrace$
$A \cup B = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \rbrace$
$A \cap B = \lbrace 1, 3 \rbrace $
$(A \cup B)' = \lbrace 6, 8, 9, 10 \rbrace$
$A' \cap B' = \lbrace 6, 8, 9, 10 \rbrace$
因此，我们看到 $(A \cup B)' = A' \cap B'$
$(A \cap B)' = \lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$
$A' \cup B' = \lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$
因此，我们看到 $(A \cap B)' = A' \cup B'$