离散数学 - 概率
与计数概念密切相关的是概率。我们经常尝试猜测机会游戏的结果，例如纸牌游戏、老虎机和彩票；即我们试图找到获得特定结果的可能性或概率。
概率可以概念化为寻找事件发生的机会。从数学上讲，它是对随机过程及其结果的研究。概率定律在遗传学、天气预报、民意调查、股票市场等各个领域都有广泛的适用性。
基本概念
概率论是由两位法国数学家布莱斯·帕斯卡和皮埃尔·德·费马于 17 世纪发明的，他们当时正在处理有关机会的数学问题。
在继续讨论概率的细节之前，让我们先了解一些定义的概念。
随机实验- 已知所有可能结果且无法提前预测确切输出的实验称为随机实验。抛一枚公平的硬币是随机实验的一个例子。
样本空间- 当我们进行实验时，所有可能结果的集合 S 称为样本空间。如果我们抛硬币，样本空间 $S = \left \{ H, T \right \}$
事件- 样本空间的任何子集都称为事件。抛硬币后，将头放在顶部就是一个事件。
“概率”一词是指特定事件发生的机会。我们最多能说的是，利用概率的概念，它们发生的可能性有多大。
$事件发生的概率 = \frac{有利结果的总数}{结果的总数}$
由于任何事件的发生率在 0% 和 100% 之间变化，因此概率在 0 和 1 之间变化。
求概率的步骤
步骤 1 - 计算实验的所有可能结果。
步骤 2 - 计算实验的有利结果的数量。
步骤 3 - 应用相应的概率公式。
抛硬币
如果抛硬币，有两种可能的结果 - 正面 $(H)$ 或反面 $(T)$
因此，结果总数 = 2
因此，正面 $(H)$ 位于顶部的概率为 1/2，反面 $(T)$ 位于顶部的概率为 1/2
掷骰子
当掷骰子时，顶部有六种可能的结果 - $1、2、3、4、5、6$。
任一数字出现的概率都是 1/6
得到偶数的概率是 3/6 = 1/2
得到奇数的概率是 3/6 = 1/2
从牌堆中取出牌
从一副 52 张牌中，如果抽出一张牌，求抽出 A 的概率，并求抽出方块的概率。
可能结果的总数 - 52
成为王牌的结果 - 4
成为 A 的概率 = 4/52 = 1/13
成为钻石的概率 = 13/52 = 1/4
概率公理
事件的概率始终在 0 到 1 之间变化。 $[0 \leq P(x) \leq 1]$
对于不可能事件，概率为 0；对于特定事件，概率为 1。
如果一个事件的发生不受另一事件的影响，则它们被称为互斥或不相交。
如果 $A_1, A_2...A_n$ 是互斥/不相交事件，则 $P(A_i \cap A_j) = \emptyset $ for $i \ne j$ 和 $P(A_1 \cup A_2 \cup.. .. A_n) = P(A_1) + P(A_2)+..... P(A_n)$
概率的性质
如果有两个事件 $x$ 和 $\overline{x}$ 是互补的，那么互补事件的概率是 -
$$p(\overline{x}) = 1-p(x)$$
对于两个不相交的事件 A 和 B，两个事件并集的概率 -
$P(A \杯子 B) = P(A) + P(B)$
如果事件 A 是另一个事件 B 的子集（即 $A \subset B$），则 A 的概率小于或等于 B 的概率。因此，$A \subset B$ 意味着 $P(A ) \leq p(B)$
条件概率
事件 B 的条件概率是在事件 A 已经发生的情况下该事件发生的概率。这被写为$P(B|A)$。
数学上 - $ P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A)$
如果事件 A 和 B 互斥，则事件 A 之后事件 B 的条件概率将是事件 B 的概率，即 $P(B)$。
问题1
在一个国家，50% 的青少年拥有自行车，30% 的青少年拥有自行车和自行车。假设青少年拥有一辆自行车，那么该青少年拥有自行车的概率是多少？
解决方案
让我们假设 A 是青少年只拥有一辆自行车的事件，B 是青少年只拥有一辆自行车的事件。
因此，对于给定的问题， $P(A) = 50/100 = 0.5$ 和 $P(A \cap B) = 30/100 = 0.3$ 。
$P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A) = 0.3/ 0.5 = 0.6$
因此，考虑到青少年拥有一辆自行车，该青少年拥有自行车的概率为 60%。
问题2
在一个班级中，50% 的学生打板球，25% 的学生打板球和排球。鉴于学生打板球，该学生打排球的概率是多少？
解决方案
我们假设 A 是学生只打板球的事件，B 是学生只打排球的事件。
因此，对于给定的问题， $P(A) = 50/100 =0.5$ 和 $P(A \cap B) = 25/ 100 =0.25$ 。
$P\lgroup B\rvert A \rgroup= P\lgroup A\cap B\rgroup/P\lgroup A \rgroup =0.25/0.5=0.5$
因此，假设学生打板球，则该学生打排球的概率为 50%。
问题3
六台好的笔记本电脑和三台有缺陷的笔记本电脑混在一起。为了找到有缺陷的笔记本电脑，所有这些笔记本电脑都会被随机地逐一进行测试。在前两次挑选中找到两台有缺陷的笔记本电脑的概率是多少？
解决方案
设 A 为我们在第一次测试中发现有缺陷的笔记本电脑的事件，B 为我们在第二次测试中发现有缺陷的笔记本电脑的事件。
因此，$P(A \cap B) = P(A)P(B|A) =3/9 \times 2/8 = 1/12$
贝叶斯定理
定理- 如果 A 和 B 是两个互斥事件，其中 $P(A)$ 是 A 的概率，$P(B)$ 是 B 的概率，$P(A | B)$ 是 A 的概率假设 B 为真。$P(B | A)$ 是假设 A 为真时 B 的概率，则贝叶斯定理指出 -
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{\sum_{i = 1}^{n}P(B|Ai)P(Ai)}$$
贝叶斯定理的应用
在样本空间的所有事件都是互斥事件的情况下。
在每个 $A_i$ 的 $P( A_i \cap B )$ 或每个 $A_i$ 的 $P( A_i )$ 和 $P(B|A_i)$ 已知的情况下。
问题
考虑三个笔架。第一个笔座包含 2 支红笔和 3 支蓝笔；第二个有3支红笔和2支蓝笔；第三个有4支红笔和1支蓝笔。每个笔架被选中的概率相等。如果随机抽出一支笔，它是红笔的概率是多少？
解决方案
令$A_i$ 为第i个笔架被选择的事件。
这里，i = 1,2,3。
由于选择笔架的概率相等，$P(A_i) = 1/3$
令 B 为绘制红笔的事件。
第一个笔架的五支笔中选择红笔的概率，
$P(B|A_1) = 2/5$
第二个笔架的五支笔中选择红笔的概率，
$P(B|A_2) = 3/5$
第三个笔架的五支笔中选择红笔的概率，
$P(B|A_3) = 4/5$
根据贝叶斯定理，
$P(B) = P(A_1).P(B|A_1) + P(A_2).P(B|A_2) + P(A_3).P(B|A_3)$
$= 1/3 。2/5\: +\: 1/3 。3/5\: +\: 1/3 。4/5$
$= 3/5$