雷达系统 - 匹配滤波器接收器

如果滤波器产生的输出能够使其频率响应中的输出峰值功率与平均噪声功率之比最大化，则该滤波器称为匹配滤波器。

这是一个重要的标准，在设计任何雷达接收器时都要考虑这一点。在本章中，我们将讨论匹配滤波器的频率响应函数和匹配滤波器的脉冲响应。

匹配滤波器的频率响应函数

匹配滤波器的频率响应将与输入信号频谱的复共轭成正比。在数学上，我们可以将匹配滤波器的频率响应函数$H\left (f\right )$的表达式写为 -

$$H\left (f\right )=G_aS^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}\:\:\:\:\:方程\:1$$

在哪里，

$G_a$ 是匹配滤波器的最大增益

$S\left (f\right )$ 是输入信号的傅里叶变换，$s\left (t\right )$

$S^\ast\left (f\right )$ 是 $S\left (f\right )$ 的复共轭

$t_1$ 是观察到的信号达到最大值的时刻

一般来说，$G_a$的值被认为是1。将 $G_a=1$ 代入等式 1 中，我们将得到以下等式。

$$H\left (f\right )=S^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}\:\:\:\:\:方程\:2$$

匹配滤波器的频率响应函数 $H\left (f\right )$ 的幅度为$ S^\ast\left (f\right )$ ，相位角为 $e^{-j2\pi ft_1 }$，随频率均匀变化。

在时域中，我们将通过应用频率响应函数 $H(f)$ 的傅里叶逆变换来获得匹配滤波器接收器的输出 $h(t)$。

$$h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }H\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}df\:\:\:\:\ :方程\:3$$

将、等式 1 代入等式 3。

$$h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }\lbrace G_aS^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}\rbrace e^{ j2\pi ft}df$$

$$\Rightarrow h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }G_aS^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi f\left (t_1-t \right )}df\:\:\:\:\:方程\:4$$

我们知道以下关系。

$$S^\ast\left (f\right )=S\left (-f\right )\:\:\:\:\:方程\:5$$

将、等式 5 代入等式 4 中。

$$h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }G_aS(-f)e^{-j2\pi f\left (t_1-t\right )}df$$

$$\Rightarrow h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }G_aS^\left (f\right )e^{j2\pi f\left (t_1-t\right ) }df$$

$$\Rightarrow h\left (t\right )=G_as(t_1−t)\:\:\:\:\:方程\:6$$

一般来说，$G_a$的值被认为是1。将 $G_a=1$ 代入公式 6 中，我们将得到以下公式。

$$h(t)=s\左 (t_1-t\右)$$

上式证明匹配滤波器的脉冲响应是时刻$t_1$处接收信号的镜像。下图说明了这个概念。

显示了接收到的信号 $s\left (t\right )$ 以及与信号 $s\left (t\right )$ 对应的匹配滤波器的脉冲响应 $h\left (t\right )$在上面的数字中。