雷达系统 - 距离方程
雷达距离方程有助于从理论上了解目标的距离。在本章中，我们将讨论雷达距离方程的标准形式，然后讨论雷达距离方程的两种修改形式。
我们将从雷达距离方程的标准形式得到雷达距离方程的这些修改形式。现在我们来讨论一下雷达距离方程标准形式的推导。
雷达测距方程的推导
雷达距离方程的标准形式也称为雷达距离方程的简单形式。现在，让我们推导雷达距离方程的标准形式。
我们知道，功率密度只不过是功率与面积的比值。因此，距离雷达 R 处的功率密度 $P_{di}$ 可以在数学上表示为 -
$$P_{di}=\frac{P_t}{4\pi R^2}\:\:\:\:\:方程\:1$$
在哪里，
$P_t$ 是雷达发射器发射的功率量上述功率密度对于各向同性天线有效。一般来说，雷达使用定向天线。因此，定向天线的功率密度 $P_{dd}$ 将为 -
$$P_{dd}=\frac{P_tG}{4\pi R^2}\:\:\:\:\:方程\:2$$
目标从接收到的输入功率向不同方向辐射功率。反射回雷达的功率大小取决于其横截面。因此，雷达回波信号的功率密度 $P_{de}$ 可以在数学上表示为 -
$$P_{de}=P_{dd}\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )\:\:\:\:\:方程\:3$$替换，方程公式 3 中的 2。
$$P_{de}=\left (\frac{P_tG}{4\pi R^2}\right )\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )\:\: \:\:\:方程\:4$$
雷达接收到的功率$P_r$取决于接收天线的有效孔径 $A_e$。
$$P_r=P_{de}A_e\:\:\:\:\:方程\:5$$
将公式 4 代入公式 5。
$$P_r=\left (\frac{P_tG}{4\pi R^2}\right )\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )A_e$$
$$\Rightarrow P_r=\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 R^4}$$
$$\Rightarrow R^4=\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 P_r}$$
$$\Rightarrow R=\left [\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 P_r}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:方程\:6$$
雷达距离方程的标准形式
如果回波信号的功率小于最小可检测信号的功率，则雷达无法检测到目标，因为它超出了雷达范围的最大限制。
因此，我们可以说，当接收到的回波信号的功率等于最小可检测信号的功率时，目标的距离被称为最大距离。将 $R=R_{Max}$ 和 $P_r=S_{min}$ 代入公式 6 中，我们将得到以下公式。
$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\:\: \:\:方程\:7$$
方程 7 表示雷达距离方程的标准形式。利用上式，我们可以求出目标的最大射程。
雷达距离方程的修正形式
我们知道定向天线增益 $G$ 和有效孔径 $A_e$ 之间的关系如下。
$$G=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}\:\:\:\:\:方程\:8$$
将公式 8 代入公式 7。
$$R_{Max}=\left [ \frac{P_t\sigma A_e}{\left ( 4\pi \right )^2S_{min}}\left ( \frac{4\pi A_e}{\lambda^2 } \right ) \right ]^{1/4}$$
$$\Rightarrow R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma {A_e}^2}{4\pi \lambda^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\: \:\:\:方程\:9$$
方程 9 表示雷达距离方程的修改形式。利用上式，我们可以求出目标的最大射程。
我们将从公式 8 中得到有效孔径 $A_e$ 与定向天线增益 $G$ 之间的关系。
$$A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}\:\:\:\:\:方程\:10$$
将公式 10 代入公式 7。
$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}(\frac{G\lambda^2}{4\pi}) \右]^{1/4}$$
$$\Rightarrow R_{Max}=\left [\frac{P_tG^2 \lambda^2 \sigma}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4 }\:\:\:\:\:方程\:11$$
方程 11 表示雷达距离方程的另一种修改形式。利用上式，我们可以求出目标的最大射程。
注意- 根据给定的数据，我们可以使用这三个方程之一找到目标的最大范围，即
- 公式 7
- 公式 9
- 公式 11
示例问题
在上一节中，我们得到了雷达距离方程的标准形式和修正形式。现在，让我们用这些方程来解决一些问题。
问题1
计算以下规格的雷达最大范围-
- 雷达发射的峰值功率，$P_t=250KW$
- 发射天线增益，$G=4000$
- 接收天线的有效孔径，$A_e=4\:m^2$
- 目标的雷达截面，$\sigma=25\:m^2$
- 最小可检测信号的功率，$S_{min}=10^{-12}W$
解决方案
我们可以使用以下标准形式的雷达距离方程来计算给定规格的雷达最大距离。
$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG \sigma A_e}{\left (4\pi \right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}$$
将所有给定参数代入上式中。
$$R_{Max}=\left [\frac{ \left ( 250\times 10^3 \right )\left ( 4000 \right )\left ( 25 \right )\left ( 4 \right )}{\left ( 4\pi \right )^2 \left ( 10^{-12} \right )} \right ]^{1/4}$$
$$\右箭头 R_{最大}=158\:KM$$
因此，给定规格的雷达最大范围为 $158\:KM$。
问题2
计算以下规格的雷达最大范围。
- 工作频率，$f=10GHZ$
- 雷达发射的峰值功率，$P_t=400KW$
- 接收天线有效孔径，$A_e=5\:m^2$
- 目标的雷达截面，$\sigma=30\:m^2$
- 最小可检测信号的功率，$S_{min}=10^{-10}W$
解决方案
我们知道以下工作波长$\lambda$ 换算为工作频率 f 的公式。
$$\lambda =\frac{C}{f}$$
代入上式中的 $C=3\times 10^8m/sec$ 和 $f=10GHZ$。
$$\lambda =\frac{3\乘以10^8}{10\乘以10^9}$$
$$\右箭头\lambda=0.03m$$
因此，当工作频率$f$为$10GHZ$时，工作波长$\lambda$等于$0.03m$。
我们可以使用以下雷达距离方程的修改形式来计算给定规格的雷达最大距离。
$$R_{Max}=\left [\frac{P_t \sigma {A_e}^2}{4\pi \lambda^2 S_{min}}\right ]^{1/4}$$
代入上式中的给定参数。
$$R_{Max}=\left [ \frac{\left ( 400\times 10^3 \right )\left ( 30 \right )\left ( 5^2 \right )}{4\pi\left ( 0.003 \right )^2\left ( 10 \right )^{-10}} \right ]^{1/4}$$
$$\右箭头 R_{最大}=128KM$$
因此，给定规格的雷达最大范围为 $128\:KM$。