傅立叶级数类型
三角傅立叶级数 (TFS)
$\sin n\omega_0 t$ 和 $\sin m\omega_0 t$ 在区间 $(t_0, t_0+{2\pi \over \omega_0})$ 上正交。所以 $\sin\omega_0 t,\, \sin 2\omega_0 t$ 构成一个正交集。如果没有 {$\cos n\omega_0 t$ }，这个集合就不完整，因为这个余弦集合也与正弦集合正交。因此，为了完成这个集合，我们必须包括余弦项和正弦项。现在完整的正交集包含所有余弦和正弦项，即 {$\sin n\omega_0 t,\,\cos n\omega_0 t$ } 其中 n=0, 1, 2...
$\therefore$ 区间 $(t_0, t_0+{2\pi \over \omega_0})$ 内的任何函数 x(t) 都可以表示为
$$ x(t) = a_0 \cos0\omega_0 t+ a_1 \cos 1\omega_0 t+ a_2 \cos2 \omega_0 t +...+ a_n \cos n\omega_0 t + ... $$
$$ + b_0 \sin 0\omega_0 t + b_1 \sin 1\omega_0 t +...+ b_n \sin n\omega_0 t + ... $$
$$ = a_0 + a_1 \cos 1\omega_0 t + a_2 \cos 2 \omega_0 t +...+ a_n \cos n\omega_0 t + ...$$
$$ + b_1 \sin 1\omega_0 t +...+ b_n \sin n\omega_0 t + ...$$
$$ \因此 x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t ) \quad (t_0< t < t_0 +T)$$
上式表示 x(t) 的三角傅里叶级数表示。
$$\text{其中} \,a_0 = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)·1 dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} 1^2 dt} = { 1 \over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)dt $$
$$a_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \cos n\omega_0 t\,dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} \cos ^2 n\ omega_0 t\, dt}$$
$$b_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \sin n\omega_0 t\,dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} \sin ^2 n\omega_0 t\, dt}$$
$$\text{这里}\, \int_{t_0}^{t_0+T} \cos ^2 n\omega_0 t\, dt = \int_{t_0}^{t_0+T} \sin ^2 n\omega_0 t\, dt = {T\超过 2}$$
$$\因此 a_n = {2\over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \cos n\omega_0 t\,dt$$
$$b_n = {2\over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \sin n\omega_0 t\,dt$$
指数傅里叶级数 (EFS)
考虑一组复数指数函数 $\left\{e^{jn\omega_0 t}\right\} (n=0, \pm1, \pm2...)$，它在区间 $(t_0, t_0) 上正交+T）$。其中 $T={2\pi \over \omega_0}$ 。这是一个完整的集合，因此可以表示任何函数 f(t)，如下所示
$ f(t) = F_0 + F_1e^{j\omega_0 t} + F_2e^{j 2\omega_0 t} + ... + F_n e^{jn\omega_0 t} + ...$
$\quad \quad \,\,F_{-1}e^{-j\omega_0 t} + F_{-2}e^{-j 2\omega_0 t} +...+ F_{-n}e ^{-jn\omega_0 t}+...$
$$ \因此 f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\omega_0 t} \quad \quad (t_0< t < t_0+T) ..... ..(1)$$
等式1表示信号f(t)在区间(t 0 ,t 0 +T)上的指数傅立叶级数表示。傅里叶系数给出为
$$ F_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) (e^{jn\omega_0 t} )^* dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} e^{jn \omega_0 t} (e^{jn\omega_0 t} )^* dt} $$
$$ \quad = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} e^{-jn\ omega_0 t} e^{jn\omega_0 t} dt} $$
$$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} 1\, dt} = {1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt$$
$$ \因此 F_n = {1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt $$
三角傅里叶级数与指数傅里叶级数之间的关系
考虑周期信号 x(t)，下面分别给出 TFS 和 EFS 表示
$ x(t) = a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t) ... ... (1)$
$ x(t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\omega_0 t}$
$\quad \,\,\, = F_0 + F_1e^{j\omega_0 t} + F_2e^{j 2\omega_0 t} + ... + F_n e^{jn\omega_0 t} + ... $
$\quad \quad \quad \quad F_{-1} e^{-j\omega_0 t} + F_{-2}e^{-j 2\omega_0 t} + ... + F_{-n}e ^{-jn\omega_0 t} + ... $
$ = F_0 + F_1(\cos \omega_0 t + j \sin\omega_0 t) + F_2(cos 2\omega_0 t + j \sin 2\omega_0 t) + ... + F_n(\cos n\omega_0 t+ j \sin n\omega_0 t)+ ... + F_{-1}(\cos\omega_0 tj \sin\omega_0 t) + F_{-2}(\cos 2\omega_0 tj \sin 2\omega_0 t) + ... + F_{-n}(\cos n\omega_0 tj \sin n\omega_0 t) + ... $
$ = F_0 + (F_1+ F_{-1}) \cos\omega_0 t + (F_2+ F_{-2}) \cos2\omega_0 t +...+ j(F_1 - F_{-1}) \sin\omega_0 t + j(F_2 - F_{-2}) \sin2\omega_0 t+... $
$ \因此 x(t) = F_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}( (F_n +F_{-n} ) \cos n\omega_0 t+j(F_n-F_{-n}) \ sin n\omega_0 t) ... ... (2) $
比较方程 1 和 2。
$a_0=F_0$
$a_n=F_n+F_{-n}$
$b_n = j(F_n-F_{-n} )$
相似地，
$F_n = \frac12 (a_n - jb_n )$
$F_{-n} = \frac12 (a_n + jb_n )$