傅里叶变换

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傅立叶级数的主要缺点是，它仅适用于周期信号。有一些自然产生的信号，例如非周期或非周期信号，我们无法使用傅立叶级数来表示。为了克服这个缺点，傅里叶开发了一种数学模型，可以将信号在时域（或空间）域和频域之间进行变换，反之亦然，称为“傅里叶变换”。

傅里叶变换在物理和工程领域有许多应用，例如 LTI 系统分析、雷达、天文学、信号处理等。

从傅里叶级数导出傅里叶变换

考虑周期为 T 的周期信号 f(t)。f(t) 的复数傅里叶级数表示为

$$ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j {2\pi \over T_0} kt} ... ... (1 ) $$

设 ${1 \over T_0} = \Delta f$，则方程 1 变为

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j2\pi k \Delta ft} ... ... (2) $

但你知道

$a_k = {1\over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jk\omega_0 t} dt$

代入方程 2。

(2) $ \Rightarrow f(t) = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} {1 \over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{- jk\omega_0 t} dt\, e^{j2\pi k \Delta ft} $

设$t_0={T\over2}$

$ = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \ , e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f $

在 $T \to \infty 的极限下，\Delta f$ 逼近微分 $df，k \Delta f$ 变为连续变量 $f$，求和变为积分

$$ f(t) = lim_{T \to \infty} ⁡\left\{ \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f (t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f \right\} $$

$$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ \int_{-\infty}^{\infty}\,f(t) e^{-j2\pi ft} dt] e^{j2\ pi ft} df $$

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, F[\omega] e^{j\omega t} d \omega$$

$\text{其中}\,F[\omega] = [ \int_{-\infty}^{\infty}\, f(t) e^{-j2 \pi ft} dt]$

基本函数的傅里叶变换

让我们看一下基本函数的傅里叶变换：

GATE功能的FT

$$F[\omega] = AT Sa({\omega T \over 2})$$

脉冲函数 FT

$FT [\omega(t) ] = [\int_{- \infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} dt] $

$\quad \quad \quad \quad = e^{-j\omega t}\, |\, t = 0 $

$\quad \quad \quad \quad = e^{0} = 1 $

$\quad \因此 \delta (\omega) = 1 $

单位阶跃函数 FT：

$U(\omega) = \pi \delta (\omega)+1/j\omega$

指数FT

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} 1/(a+jω)$

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} 1/(a+j\omega )$

$ e^{-a\,|\,t\,|} \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} {2a \over {a^2+ω^2}}$

$ e^{j \omega_0 t} \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} \delta (\omega - \omega_0)$

Signum 函数的 FT

$ sgn(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} {2 \over j \omega }$

傅里叶变换存在的条件

任何函数f(t)只有满足狄利克雷条件才可以用傅里叶变换来表示。IE

• 函数 f(t) 具有有限数量的最大值和最小值。

• 在给定的时间间隔内，信号 f(t) 中必须存在有限数量的不连续点。

• 它必须在给定的时间间隔内绝对可积，即

  $ \int_{-\infty}^{\infty}\, |\, f(t) | \, dt < \infty $

离散时间傅立叶变换 (DTFT)

离散时间傅里叶变换 (DTFT) 或离散时间序列 x[n] 的傅里叶变换是用复指数序列 $e^{j\omega n}$ 表示的序列。

DTFT 序列 x[n] 由下式给出

$$ X(\omega) = \Sigma_{n= -\infty}^{\infty} x(n)e^{-j \omega n} \,\, ...\,... (1) $$

这里，X(ω) 是实数频率变量 ω 的复函数，可以写为

$$ X(\omega) = X_{re}(\omega) + jX_{img}(\omega) $$

其中X _re (ω)、X _img (ω)分别是X(ω)的实部和虚部。

$$ X_{re}(\omega) = |\, X(\omega) | \cos\theta(\omega) $$

$$ X_{img}(\omega) = |\, X(\omega) | \sin\theta(\omega) $$

$$ |X(\omega) |^2 = |\, X_{re} (\omega) |^2+ |\,X_{im} (\omega) |^2 $$

而 X(ω) 也可以表示为 $ X(\omega) = |\,X(\omega) | e^{j\theta (ω)} $

其中 $\theta(\omega) = arg{X(\omega) } $

$|\,X(\omega) |, \theta(\omega)$ 称为 X(ω) 的幅度谱和相位谱。

逆离散时间傅里叶变换

$$ x(n) = { 1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j \omega n} d\omega \,\, ... \,... (2)$$

收敛条件：

等式1中的无穷级数可以收敛也可以不收敛。x(n) 是绝对可求和的。

$$ \text{当}\,\, \sum_{n=-\infty}^{\infty} |\, x(n)|\, < \infty $$

绝对可和序列总是具有有限能量，但有限能量序列不一定是绝对可和的。