Z 变换 (ZT)

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连续时间 LTI 系统的分析可以使用 z 变换来完成。它是将微分方程转换为代数方程的强大数学工具。

离散时间信号 x(n) 的双边（两侧）z 变换如下

$ZT[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} $

离散时间信号 x(n) 的单边（一侧）z 变换如下

$ZT[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = 0}^{\infty} x(n)z^{-n} $

对于某些不存在离散时间傅立叶变换 (DTFT) 的信号，可能存在 Z 变换。

Z 变换和逆 Z 变换的概念

离散时间信号 x(n) 的 Z 变换可以用 X(Z) 表示，定义为

$X(Z) = \Sigma_{n=- \infty }^ {\infty} x(n)z^{-n} \,...\,...\,(1)$

如果 $Z = re^{j\omega}$ 则方程 1 变为

$X(re^{j\omega}) = \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[re^{j \omega} ]^{-n}$

$= \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[r^{-n} ] e^{-j \omega n}$

$X(re^{j \omega} ) = X(Z) = FT[x(n)r^{-n}] \,...\,...\,(2) $

上式表示傅里叶变换和Z变换之间的关系。

$ X(Z) |_{z=e^{j omega}} = FT [x(n)]。$

Z 逆变换

$X(re^{j\omega}) = FT[x(n)r^{-n}] $

$x(n)r^{-n} = FT^{-1}[X(re^{j \omega}]$

$x(n) = r^n\,FT^{-1}[X(re^{j \omega} )]$

$= r^n {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )e^{j \omega n} d \omega $

$= {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )[re^{j \omega} ]^nd \omega \,...\,...\,(3) $

代入 $re^{j \omega} = z$。

$dz = jre^{j \omega} d \omega = jz d \omega$

$d \omega = {1 \over j }z^{-1}dz$

代入方程 3。

$ 3\, \to \, x(n) = {1 \over 2\pi} \int\, X(z)z^n {1 \over j } z^{-1} dz = {1 \over 2\pi j} \int \,X(z) z^{n-1} dz $