Z 变换属性

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Z 变换具有以下属性：

线性特性

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

和 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那么线性属性表明

$a\, x (n) + b\, y (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} a\, X(Z) + b\, Y(Z)$

时移特性

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那么时移属性表明

$x (nm) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} z^{-m} X(Z)$

乘以指数序列性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

然后乘以指数序列属性表明

$a^n\, . x(n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z/a)$

时间反转性质

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那么时间反转性质表明

$x (-n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(1/Z)$

Z 域中的微分或乘以 n 属性

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

然后乘以 n 或 z 域属性中的微分表明

$ n^kx (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} [-1]^kz^k{d^k X(Z) \over dZ^K} $

卷积性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

和 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那么卷积性质表明

$x(n) * y(n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$

相关性

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

和 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那么相关性表明

$x(n) \otimes y(n) \stackrel{\mathrm{ZT}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z^{-1})$

初值和终值定理

z 变换的初值和终值定理是针对因果信号定义的。

初值定理

对于因果信号 x(n)，初值定理指出

$ x (0) = \lim_{z \to \infty }⁡X(z) $

这用于在不进行逆 z 变换的情况下查找信号的初始值

最终值定理

对于因果信号 x(n)，最终值定理指出

$ x ( \infty ) = \lim_{z \to 1} [z-1] ⁡X(z) $

这用于在不进行 z 逆变换的情况下查找信号的最终值。

Z 变换的收敛区域 (ROC)

z变换收敛的z变化范围称为z变换收敛区域。

Z 变换的 ROC 属性

• z 变换的 ROC 在 z 平面上用圆圈表示。

• ROC 不包含任何极点。

• 如果 x(n) 是有限持续时间因果序列或右侧序列，则 ROC 是整个 z 平面（除了 z = 0 处）。

• 如果 x(n) 是有限持续时间反因果序列或左侧序列，则 ROC 是整个 z 平面（除了 z = Infini 处）。

• 如果 x(n) 是无限持续时间因果序列，则 ROC 位于半径为 aie |z| 的圆的外部 > a.

• 如果 x(n) 是无限持续时间的反因果序列，则 ROC 是半径为 aie |z| 的圆的内部 <一.

• 如果 x(n) 是有限持续时间两侧序列，则 ROC 是整个 z 平面，除了 z = 0 和 z = Infini 处。

ROC的概念可以用下面的例子来解释：

示例 1：求 $a^nu[n] + a^{-}nu[-n-1]$ 的 z 变换和 ROC

$ZT[a^nu[n]] + ZT[a^{-n}u[-n-1]] = {Z \over Za} + {Z \over Z {-1 \over a}}$

$$ 中华民国：|z| \gt a \quad\quad ROC: |z| \lt {1 \over a} $$

ROC 绘图有两个条件：a > 1 和 a < 1，因为您不知道 a。

在这种情况下，没有组合 ROC。

这里，ROC的组合来自$a \lt |z| \lt {1 \over a}$

因此，对于这个问题，当 a < 1 时，z 变换是可能的。

因果关系和稳定性

离散时间 LTI 系统的因果关系条件如下：

离散时间 LTI 系统是因果系统，当

• ROC 位于最外极点之外。

• 在传递函数H[Z]中，分子的阶数不能大于分母的阶数。

离散时间 LTI 系统的稳定性条件

离散时间 LTI 系统在以下情况下是稳定的：

• 其系统函数H[Z]包括单位圆|z|=1。

• 传递函数的所有极点都位于单位圆 |z|=1 内。

基本信号的 Z 变换