傅立叶变换属性

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以下是傅里叶变换的性质：

线性特性

$\text{如果}\,\,x (t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ \text{&} \,\, y(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

那么线性属性表明

$ax (t) + by (t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} a X(\omega) + b Y(\omega) $

时移特性

$\text{If}\, x(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X (\omega)$

那么时移属性表明

$x (t-t_0) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega t_0 } X(\omega)$

移频特性

$\text{如果}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

那么频移特性表明

$e^{j\omega_0 t} 。x (t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega - \omega_0)$

时间反转性质

$ \text{If}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

那么时间反转性质表明

$ x (-t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(-\omega)$

时间缩放属性

$ \text{If}\,\, x (t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

那么时间缩放属性表明

$ x (at) {1 \over |\,a\,|} X { \omega \over a}$

微分和积分性质

$ 如果 \,\, x (t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

那么微分性质表明

$ {dx (t) \over dt} \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} j\omega 。X(\omega)$

$ {d^nx (t) \over dt^n } \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} (j \omega)^n 。X(\omega) $

积分属性表明

$ \int x(t) \, dt \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} {1 \over j \omega} X(\omega) $

$ \iiiint ... \int x(t)\, dt \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} { 1 \over (j\omega)^n} X(\omega) $

乘法和卷积性质

$ \text{If} \,\, x(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ \text{&} \,\,y(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

那么乘法性质表明

$x(t)。y(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} X(\omega)*Y(\omega) $

卷积性质表明

$ x(t) * y(t) \stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow} {1 \over 2 \pi} X(\omega).Y(\omega) $