信号分析
向量和信号之间的类比
矢量和信号之间有着完美的类比。
向量
向量包含大小和方向。矢量的名称用粗体字表示，矢量的大小用浅色字表示。
示例： V 是大小为 V 的向量。考虑两个向量 V 1和 V 2，如下图所示。让V 1和V 2的分量由C 12 V 2给出。矢量 V 1与矢量 V 2的分量可以通过从 V 1的末端到矢量 V 2的垂线获得，如下图所示：
向量 V 1可以用向量 V 2表示
V 1 = C 12 V 2 + V e
其中 Ve 是误差向量。
但这并不是用 V 2表达向量 V 1的唯一方式。替代的可能性是：
V 1 =C 1 V 2 +V e1
V 2 =C 2 V 2 +V e2
对于大元件值，误差信号最小。如果C 12 =0，则两个信号被称为正交。
两个向量的点积
V 1。V 2 = V 1 .V 2 cosθ
θ = V1 和 V2 之间的角度
V 1。V 2 =V 2 .V 1
V 1 alog n的分量V 2 = V 1 Cos θ = $V1.V2 \over V2$
从图中，V 1 alog n V 2 = C 12 V 2的分量
$$V_1.V_2 \over V_2 = C_12\,V_2$$
$$ \右箭头 C_{12} = {V_1.V_2 \over V_2}$$
信号
正交性的概念可以应用于信号。让我们考虑两个信号f 1 (t) 和f 2 (t)。与向量类似，您可以用f 2 (t ) 来近似f 1 (t)：
f 1 (t) = C 12 f 2 (t) + f e (t) 对于 (t 1 < t < t 2 )
$ \右箭头 $ f e (t) = f 1 (t) – C 12 f 2 (t)
最小化误差的一种可能方法是在时间间隔t 1到t 2上积分。
$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)] dt$$
$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_1(t) - C_{12}f_2(t)]dt $$
然而，该步骤也没有将误差减少到可察觉的程度。这可以通过误差函数的平方来纠正。
$\varepsilon = {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2 dt$
$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - C_{12}f_2]^2 dt $
其中ε是误差信号的均方值。C 12的值使误差最小化，您需要计算 ${d\varepsilon \over dC_{12} } = 0 $
$\Rightarrow {d \over dC_{12} } [ {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_1 (t) - C_{12} f_2 (t)]^2 dt]= 0 美元
$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [ {d \over dC_{12} } f_{1}^2(t) - {d \over dC_{12} } 2f_1(t)C_{12}f_2(t)+ {d \over dC_{12} } f_{2}^{2} (t) C_{12}^2 ] dt =0 $
没有 C12 项的项的导数为零。
$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} - 2f_1(t) f_2(t) dt + 2C_{12}\int_{t_1}^{t_2}[f_{2}^{2} (t)]dt = 0 美元
如果 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t )dt }} $ 分量为零，则两个信号被称为正交。
设 C 12 = 0 以获得正交性条件。
0 = $ {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $
$$ \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t)f_2(t) dt = 0 $$
正交向量空间
完整的正交向量集称为正交向量空间。考虑一个三维向量空间，如下所示：
考虑向量 A 位于点 (X 1 , Y 1 , Z 1 ) 处。分别考虑X、Y、Z 轴方向的三个单位向量（V X、V Y 、 V Z ）。由于这些单位向量相互正交，因此满足
$$V_X。V_X=V_Y。V_Y=V_Z。V_Z = 1 $$
$$V_X。V_Y=V_Y。V_Z=V_Z。V_X = 0 $$
您可以将上述条件写为
$$V_a 。V_b = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad a = b \\ 0 & \quad a \neq b \end{array} \right。$$
向量 A 可以用其分量和单位向量表示为
$A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z................(1) $
该三维空间中的任何向量都可以仅用这三个单位向量来表示。
如果考虑 n 维空间，则该空间中的任何向量 A 都可以表示为
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z+...+ N_1V_N.....(2) $
由于单位向量的大小对于任何向量 A 都是统一的
A 沿 x 轴的分量 = AV X
A 沿 Y 轴的分量 = AV Y
A 沿 Z 轴的分量 = AV Z
类似地，对于 n 维空间，A 沿某个 G 轴的分量
$= A.VG........................(3)$
将方程 2 代入方程 3。
$\右箭头 CG= (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z +...+G_1 V_G...+ N_1V_N)V_G$
$= X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G +...+ G_1V_G V_G...+ N_1V_N V_G$
$= G_1 \,\,\,\,\, \text{自 } V_G V_G=1$
$如果 V_G V_G \neq 1 \,\,\text{即} V_G V_G= k$
$AV_G = G_1V_G V_G= G_1K$
$G_1 = {(AV_G) \超过 K}$
正交信号空间
让我们考虑区间 t 1到 t 2上的一组 n 个相互正交的函数 x 1 (t)、x 2 (t)...x n (t) 。由于这些函数彼此正交，因此任意两个信号x j (t)、x k (t)必须满足正交条件。IE
$$\int_{t_1}^{t_2} x_j(t)x_k(t)dt = 0 \,\,\, \text{其中}\, j \neq k$$
$$\text{设} \int_{t_1}^{t_2}x_{k}^{2}(t)dt = k_k $$
设函数 f(t)，可以通过将沿相互正交信号的分量相加来用该正交信号空间来近似，即
$\,\,\,f(t) = C_1x_1(t) + C_2x_2(t) + ... + C_nx_n(t) + f_e(t) $
$\quad\quad=\Sigma_{r=1}^{n} C_rx_r (t) $
$\,\,\,f(t) = f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r (t) $
均方误差 $ \varepsilon = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f_e(t)]^2 dt$
$$ = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f[t] - \sum_{r=1}^{n} C_rx_r(t) ]^2 dt $$
最小化均方误差的分量可以通过以下方式找到
$$ {d\varepsilon \over dC_1} = {d\varepsilon \over dC_2} = ... = {d\varepsilon \over dC_k} = 0 $$
让我们考虑 ${d\varepsilon \over dC_k} = 0 $
$${d \over dC_k}[ {1 \over t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} [ f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt] = 0 $$
所有不包含 C k 的项都为零。即总而言之，r=k 项仍然存在，所有其他项均为零。
$$\int_{t_1}^{t_2} - 2 f(t)x_k(t)dt + 2C_k \int_{t_1}^{t_2} [x_k^2 (t)] dt=0 $$
$$\Rightarrow C_k = {{\int_{t_1}^{t_2}f(t)x_k(t)dt} \over {int_{t_1}^{t_2} x_k^2 (t)dt}} $$
$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = C_kK_k $$
均方误差
误差函数f e (t)的平方平均值称为均方误差。用ε（epsilon）表示。
。$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2dt$
$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt $
$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f_e^2 (t) ]dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r ^2 \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t) dt - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(t)dt $
你知道 $C_{r}^{2} \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t)dt = C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(d)dt = C_r ^2 K_r $
$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r - 2 \ Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r] $
$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt - \Sigma_{r=1}^{n} C_r ^2K_r]$
$\, \因此 \varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + (C_1^2 K_1 + C_2^2 K_2 + ... + C_n^2 K_n)] $
上式用于评估均方误差。
闭完备正交函数集
让我们考虑区间 t 1到 t 2上的一组 n 个相互正交的函数 x 1 (t)、x 2 (t)...x n (t) 。当不存在满足条件 $\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = 0 $ 的函数 f(t) 时，这称为闭完全集
如果该函数满足方程 $\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt=0 \,\, \text{for}\, k = 1,2,..$ 则 f (t) 被认为与正交集的每个函数正交。如果没有 f(t)，这个集合是不完整的。当包含 f(t) 时，它变为闭集且完全集。
f(t) 可以通过沿相互正交的信号相加分量来用该正交集来近似，即
$$f(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t) + f_e(t) $$
如果无限级数 $C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t)$ 收敛于 f(t)，则均方误差为零。
复函数中的正交性
如果 f 1 (t) 和 f 2 (t) 是两个复函数，则 f 1 (t) 可以用 f 2 (t) 表示为
$f_1(t) = C_{12}f_2(t) \,\,\,\,\,\,\,\,$ ..误差可忽略不计
其中 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^*(t)dt} \over { \int_{t_1}^{t_2} |f_2(t)|^2 dt}} $
其中 $f_2^* (t)$ = f 2 (t) 的复共轭。
如果 f 1 (t) 和 f 2 (t) 正交，则 C 12 = 0
$$ {\int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^*(t) dt \over \int_{t_1}^{t_2} |f_2 (t) |^2 dt} = 0 $$
$$\右箭头 \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^* (dt) = 0$$
上式表示复函数中的正交条件。