数字电路 - 二级逻辑实现

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输入和输出之间存在的最大电平数为两电平逻辑中的两电平。这意味着，无论逻辑门的总数是多少，任何输入和输出之间存在（级联）的逻辑门的最大数量在两级逻辑中是两个。这里，第一级逻辑门的输出连接为第二级逻辑门的输入。

考虑四个逻辑门“与”、“或”、“与非”和“或非”。由于有 4 个逻辑门，我们将得到 16 种可能的实现二级逻辑的方法。它们是 AND-AND、AND-OR、ANDNAN​​D、AND-NOR、OR-AND、OR-OR、OR-NAND、OR-NOR、NAND-AND、NAND-OR、NANDNAN​​D、NAND-NOR、NOR-AND、或非或、或非与非、或非或非。

这两个层次的逻辑实现可以分为以下两类。

• 退化形式
• 非退化形式

退化形式

如果使用单个逻辑门可以获得两级逻辑实现的输出，则称为退化形式。显然，单个逻辑门的输入数量增加了。因此，逻辑门的扇入增加。这是退化形式的优点。

16种组合中，只有6 种二级逻辑实现的组合属于退化形式。它们是 AND-AND、AND-NAND、OR-OR、OR-NOR、NAND-NOR、NORNAND。

在本节中，让我们讨论一些实现。假设每个逻辑实现中 A、B、C 和 D 是输入，Y 是输出。

与与逻辑

在此逻辑实现中，“与”门存在于两个级别中。下图显示了AND-AND 逻辑实现的示例。

我们将得到第一级逻辑门的输出为 $Y_{1}=AB$ 和 $Y_{2}=CD$

这些输出 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 用作第二级中存在的 AND 门的输入。所以，这个与门的输出是

$$Y=Y_{1}Y_{2}$$

将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上式中。

$$Y=\左（AB \右）\左（CD \右）$$

$\右箭头 Y=ABCD$

因此，此 AND-AND 逻辑实现的输出是ABCD。该布尔函数可以通过使用 4 输入与门来实现。因此，它是退化形式。

与非逻辑

在此逻辑实现中，与门出现在第一级中，与非门出现在第二级中。下图显示了AND-NAND 逻辑实现的示例。

之前，我们得到第一级逻辑门的输出为 $Y_{1} = AB$ 和 $Y_{2} = CD$

这些输出 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 用作第二级中存在的 NAND 门的输入。所以，这个与非门的输出是

$$Y={\left ( Y_{1}Y_{2} \right )}'$$

将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上式中。

$$Y={\left ( \left ( AB \right ) \left ( CD \right )\right )}'$$

$\Rightarrow Y={\left ( ABCD \right )}'$

因此，该 AND-NAND 逻辑实现的输出为 ${\left ( ABCD \right )}'$。该布尔函数可以通过使用 4 输入 NAND 门来实现。因此，它是退化形式。

或或逻辑

在此逻辑实现中，“或”门存在于两个级别中。下图显示了OR-OR 逻辑实现的示例。

我们将得到第一级逻辑门的输出为$Y_{1}=A+B$和$Y_{2}=C+D$。

这些输出 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 用作第二级中的“或”门的输入。所以，这个或门的输出是

$$Y=Y_{1}+Y_{2}$$

将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上式中。

$$Y=\left ( A+B \right )+\left ( C+D \right )$$

$\右箭头 Y=A+B+C+D$

因此，此 OR-OR 逻辑实现的输出是A+B+C+D。该布尔函数可以通过使用 4 输入或门来实现。因此，它是退化形式。

同样，您可以验证其余的实现是否属于该类别。

非退化形式

如果使用单个逻辑门无法获得二级逻辑实现的输出，则称为非退化形式。

两级逻辑实现的其余10 种组合属于非退化形式。这些是 AND-OR、AND-NOR、OR-AND、OR-NAND、NAND-AND、NANDOR、NAND-NAND、NOR-AND、NOR-OR、NOR-NOR。

现在，让我们讨论一些实现。假设每个逻辑实现中 A、B、C 和 D 是输入，Y 是输出。

与或逻辑

在此逻辑实现中，与门出现在第一级中，或门出现在第二级中。下图显示了AND-OR 逻辑实现的示例。

之前，我们得到第一级逻辑门的输出为 $Y_{1} = AB$ 和 $Y_{2} = CD$。

这些输出 Y1 和 Y2 用作第二级中的或门的输入。所以，这个或门的输出是

$$Y=Y_{1}+Y_{2}$$

将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上式中

$$Y=AB+CD$$

因此，该 AND-OR 逻辑实现的输出是AB+CD。该布尔函数采用乘积和的形式。由于我们无法使用单个逻辑门来实现它，因此这种与或逻辑的实现是一种非退化形式。

与非逻辑

在该逻辑实现中，与门存在于第一级中，或非门存在于第二级中。下图显示了AND-NOR 逻辑实现的示例。

我们知道第一级逻辑门的输出为 $Y_{1} = AB$ 和 $Y_{2} = CD$

这些输出 Y1 和 Y2 用作第二级中的 NOR 门的输入。所以，该或非门的输出是

$$Y={\left ( Y_{1}+Y_{2} \right )}'$$

将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上式中。

$$Y={\左 ( AB+CD \右 )}'$$

因此，该 AND-NOR 逻辑实现的输出为 ${\left ( AB+CD \right )}'$。该布尔函数采用AND-OR-Invert形式。由于我们无法使用单个逻辑门来实现它，因此这种 AND-NOR 逻辑实现是一种非退化形式

或与逻辑

在此逻辑实现中，“或”门出现在第一级中，“与”门出现在第二级中。下图显示了OR-AND 逻辑实现的示例。

之前，我们得到第一级逻辑门的输出为$Y_{1}=A+B$和$Y_{2}=C+D$。

这些输出 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 用作第二级中存在的 AND 门的输入。所以，这个与门的输出是

$$Y=Y_{1}Y_{2}$$

将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上式中。

$$Y = \left ( A+B \right )\left ( C+D \right )$$

因此，此 OR-AND 逻辑实现的输出是(A + B) (C + D)。该布尔函数采用求和积的形式。由于我们无法使用单个逻辑门来实现它，因此这种“或与”逻辑实现是一种非退化形式。

同样，您可以验证其余的实现是否属于该类别。