模糊逻辑 - 经典集合论
集合是不同元素的无序集合。可以通过使用设置括号列出其元素来显式地编写它。如果元素的顺序发生更改或集合中的任何元素重复，则不会对集合进行任何更改。
例子
- 所有正整数的集合。
- 太阳系中所有行星的集合。
- 印度所有州的集合。
- 字母表中所有小写字母的集合。
集合的数学表示
集合可以用两种方式表示 -
名册或表格形式
在这种形式中，集合通过列出组成它的所有元素来表示。元素括在大括号内并用逗号分隔。
以下是以名册或表格形式设置的示例 -
- 英语字母表中的一组元音，A = {a,e,i,o,u}
- 小于 10 的奇数集合，B = {1,3,5,7,9}
集合生成器符号
在这种形式中，集合是通过指定集合元素所共有的属性来定义的。该集合被描述为 A = {x:p(x)}
示例 1 - 集合 {a,e,i,o,u} 写为
A = {x:x 是英文字母中的元音}
示例 2 - 集合 {1,3,5,7,9} 写为
B = {x:1 ≤ x < 10 且 (x%2) ≠ 0}
如果元素 x 是任意集合 S 的成员，则用 x∈S 表示，如果元素 y 不是集合 S 的成员，则用 y∉S 表示。
示例- 如果 S = {1,1.2,1.7,2},1 ∈ S 但 1.5 ∉ S
集合的基数
集合 S 的基数，用 |S||S| 表示，是集合中元素的数量。该数字也称为基数。如果一个集合有无限多个元素，则它的基数为 ∞ 。
示例- |{1,4,3,5}| = 4,|{1,2,3,4,5,…}| = 无穷大
如果有两个集合X和Y，|X| =|Y| 表示具有相同基数的两个集合 X 和 Y。当 X 中的元素数量恰好等于 Y 中的元素数量时，就会发生这种情况。在这种情况下，存在从 X 到 Y 的双射函数“f”。
|X| ≤|Y| 表示集合 X 的基数小于或等于集合 Y 的基数。当 X 中的元素数量小于或等于 Y 中的元素数量时，就会发生这种情况。这里，存在从 X 到 Y 的单射函数“f”。
|X| <|Y| 表示集合 X 的基数小于集合 Y 的基数。当 X 中的元素数量小于 Y 中的元素数量时，就会发生这种情况。这里，从 X 到 Y 的函数“f”是单射函数，但不是双射函数。
如果|X| ≤|Y| 和|X| ≤|Y| 然后|X| =|Y| 。集合 X 和 Y 通常称为等价集合。
套装类型
集合可以分为很多种；其中一些是有限集、无限集、子集、全集、真集、单例集等。
有限集
包含一定数量元素的集合称为有限集合。
示例- S = {x|x ∈ N 且 70 > x > 50}
无限集
包含无限个元素的集合称为无限集。
示例- S = {x|x ∈ N 且 x > 10}
子集
如果 X 的每个元素都是集合 Y 的元素，则集合 X 是集合 Y 的子集（写为 X ⊆ Y）。
示例 1 - 令 X = {1,2,3,4,5,6} 且 Y = {1,2}。这里集合Y是集合X的子集，因为集合Y的所有元素都在集合X中。因此，我们可以写成Y⊆X。
示例 2 - 令 X = {1,2,3} 且 Y = {1,2,3}。这里集合Y是集合X的子集（不是真子集），因为集合Y的所有元素都在集合X中。因此，我们可以写成Y⊆X。
真子集
术语“真子集”可以定义为“但不等于”的子集。如果 X 的每个元素都是集合 Y 的元素且 |X| ，则集合 X 是集合 Y 的真子集（写为 X ⊂ Y）<|Y|。
示例- 设 X = {1,2,3,4,5,6} 且 Y = {1,2}。这里集合 Y ⊂ X，因为 Y 中的所有元素也包含在 X 中，并且 X 至少有一个元素比集合 Y 多。
通用套装
它是特定上下文或应用程序中所有元素的集合。该上下文或应用程序中的所有集合本质上都是该通用集合的子集。通用集表示为 U。
示例- 我们可以将 U 定义为地球上所有动物的集合。在这种情况下，所有哺乳动物的集合是 U 的子集，所有鱼类的集合是 U 的子集，所有昆虫的集合是 U 的子集，依此类推。
空集或零集
空集不包含任何元素。用Φ表示。由于空集的元素个数是有限的，所以空集是有限集。空集或空集的基数为零。
示例– S = {x|x ∈ N 且 7 < x < 8} = Φ
单例集或单元集
单例集或单元集仅包含一个元素。单例集用 {s} 表示。
示例- S = {x|x ∈ N, 7 < x < 9} = {8}
等集
如果两个集合包含相同的元素，则称它们相等。
示例- 如果 A = {1,2,6} 且 B = {6,1,2}，则它们相等，因为集合 A 的每个元素都是集合 B 的元素，集合 B 的每个元素都是集合 A 的元素。
等效组
如果两个集合的基数相同，则称它们为等价集合。
示例- 如果 A = {1,2,6} 且 B = {16,17,22}，则它们等价，因为 A 的基数等于 B 的基数。即 |A| =|B| = 3
重叠集
至少有一个公共元素的两个集合称为重叠集合。如果集合重叠 -
$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A \right ) + n\left ( B \right ) - n\left ( A\cap B \right )$$
$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( AB \right )+n\left ( BA \right )+n\left ( A\cap B \right )$$
$$n\left ( A \right ) = n\left ( AB \right )+n\left ( A\cap B \right )$$
$$n\left ( B \right ) = n\left ( BA \right )+n\left ( A\cap B \right )$$
示例- 设 A = {1,2,6} 且 B = {6,12,42}。有一个公共元素“6”，因此这些集合是重叠集合。
不相交集
如果两个集合 A 和 B 甚至没有一个共同元素，则这两个集合称为不相交集合。因此，不相交集具有以下属性 -
$$n\left ( A\cap B \right ) = \phi$$
$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A \right )+n\left ( B \right )$$
示例- 设 A = {1,2,6} 且 B = {7,9,14}，没有单个公共元素，因此这些集合是重叠集合。
经典集合的运算
集合运算包括集合并、集合交、集合差、集合补和笛卡尔积。
联盟
集合 A 和 B 的并集（表示为 A ∪ BA ∪ B）是 A 中、B 中或 A 和 B 中的元素的集合。因此，A ∪ B = {x|x ∈ A OR x ε B}。
示例- 如果 A = {10,11,12,13} 且 B = {13,14,15}，则 A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} – 公共元素仅出现一次。
路口
集合 A 和 B 的交集（记为 A ∩ B）是同时包含在 A 和 B 中的元素的集合。因此，A ∩ B = {x|x ∈ A AND x ∈ B}。
差异/相对互补
集合 A 和 B 的集合差（记为 A–B）是只在 A 中而不在 B 中的元素的集合。因此，A − B = {x|x ∈ A AND x ∉ B}。
示例- 如果 A = {10,11,12,13} 且 B = {13,14,15}，则 (A − B) = {10,11,12} 且 (B − A) = {14,15 }。在这里，我们可以看到 (A − B) ≠ (B − A)
集合的补集
集合 A 的补集（记为 A'）是不在集合 A 中的元素的集合。因此，A' = {x|x ∉ A}。
更具体地说，A' = (U−A)，其中 U 是包含所有对象的通用集合。
示例- 如果 A = {x|x 属于加法整数集合}，则 A′ = {y|y 不属于奇数整数集合}
笛卡尔积/叉积
n 个集合 A1,A2,…An 的笛卡尔积表示为 A1 × A2...× An 可以定义为所有可能的有序对 (x1,x2,…xn)，其中 x1 ∈ A1,x2 ∈ A2,… xn ∈ An
示例- 如果我们采用两个集合 A = {a,b} 和 B = {1,2}，
A 和 B 的笛卡尔积写为 − A × B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}
并且，B 和 A 的笛卡尔积写为 − B × A = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
经典集合的性质
集合的性质对于获得解决方案起着重要作用。以下是经典集合的不同属性 -
交换律
有两个集合A和B，该属性指出 -
$$A \cup B = B \cup A$$
$$A \cap B = B \cap A$$
关联属性
具有三个集合A、B和C，该属性指出 -
$$A\cup \left ( B\cup C \right ) = \left ( A\cup B \right )\cup C$$
$$A\cap \left ( B\cap C \right ) = \left ( A\cap B \right )\cap C$$
分配财产
具有三个集合A、B和C，该属性指出 -
$$A\cup \left ( B\cap C \right ) = \left ( A\cup B \right )\cap \left ( A\cup C \right )$$
$$A\cap \left ( B\cup C \right ) = \left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap C \right )$$
幂等性
对于任何集合A，该属性表示 -
$$A\杯子A = A$$
$$A\上限 A = A$$
身份属性
对于集合A和通用集合X，该属性指出 -
$$A\cup \varphi = A$$
$$A\上限 X = A$$
$$A\cap \varphi = \varphi$$
$$A\cup X = X$$
传递性
具有三个集合A、B和C，该属性表示 -
如果 $A\subseteq B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$
合合性
对于任何集合A，该属性表示 -
$$\overline{{\overline{A}}} = A$$
德摩根定律
它是证明同义反复和矛盾的一个非常重要的定律和支持。该法规定 -
$$\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$
$$\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$