模糊逻辑 - 隶属函数

我们已经知道，模糊逻辑不是模糊的逻辑，而是用来描述模糊性的逻辑。这种模糊性的最佳特征是其隶属函数。换句话说，我们可以说隶属函数代表了模糊逻辑中的真实程度。

会员功能

以下是与隶属函数相关的一些要点 -

  • 隶属函数于 1965 年由 Lofti A. Zadeh 在他的第一篇研究论文“模糊集”中首次引入。

  • 隶属函数表征模糊性（即模糊集中的所有信息），无论模糊集中的元素是离散的还是连续的。

  • 隶属函数可以定义为一种通过经验而不是知识来解决实际问题的技术。

  • 隶属函数以图形形式表示。

  • 定义模糊性的规则也是模糊的。

数学符号

我们已经研究过，信息域U中的模糊集à可以定义为一组有序对，并且可以在数学上表示为 -

$$\widetilde{A} = \left \{ \left ( y,\mu _{\widetilde{A}} \left ( y \right ) \right ) | y\in U\right \}$$

这里 $\mu \widetilde{A}\left (\bullet \right )$ = $\widetilde{A}$ 的隶属函数；假设值在 0 到 1 的范围内，即 $\mu \widetilde{A}\left (\bullet \right )\in \left [ 0,1 \right ]$。隶属函数 $\mu \widetilde{A}\left (\bullet \right )$ 将 $U$ 映射到隶属空间 $M$。

上述隶属函数中的点$\left (\bullet \right )$，表示模糊集中的元素；无论是离散的还是连续的。

会员功能特点

我们现在将讨论隶属函数的不同特征。

核

对于任何模糊集合 $\widetilde{A}$，隶属函数的核心是由集合中的完整隶属关系表征的宇宙区域。因此，核心由信息宇宙的所有元素 $y$ 组成，使得，

$$\mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right ) = 1$$

支持

对于任何模糊集$\widetilde{A}$，隶属函数的支持是集合中非零隶属度特征的全域区域。因此，核心由信息宇宙的所有元素 $y$ 组成，这样，

$$\mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right ) > 0$$

边界

对于任何模糊集合$\widetilde{A}$，隶属函数的边界是宇宙区域，其特征是集合中非零但不完整的隶属关系。因此，核心由信息宇宙的所有元素 $y$ 组成，使得，

$$1 > \mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right ) > 0$$

会员功能特点

模糊化

它可以被定义为将清晰集转换为模糊集或将模糊集转换为更模糊集的过程。基本上，此操作将准确清晰的输入值转换为语言变量。

以下是模糊化的两种重要方法 -

支持模糊化(s-fuzzification)方法

在这种方法中，模糊集可以借助以下关系来表示 -

$$\widetilde{A} = \mu _1Q\left ( x_1 \right )+\mu _2Q\left ( x_2 \right )+...+\mu _nQ\left ( x_n \right )$$

这里模糊集$Q\left ( x_i \right )$ 被称为模糊化核。该方法是通过保持 $\mu _i$ 恒定并将 $x_i$ 转换为模糊集 $Q\left ( x_i \right )$ 来实现的。

等级模糊化（g-fuzzification）方法

它与上面的方法非常相似，但主要区别在于它保持 $x_i$ 恒定，并且 $\mu _i$ 表示为模糊集。

去模糊化

它可以被定义为将模糊集减少为清晰集或将模糊成员转换为清晰成员的过程。

我们已经研究过模糊化过程涉及从清晰量到模糊量的转换。在许多工程应用中，需要对结果进行去模糊化，或者更准确地说是“模糊结果”，以便将其转换为清晰的结果。从数学上讲，去模糊化的过程也称为“四舍五入”。

下面描述了去模糊化的不同方法 -

最大会员法

该方法仅限于峰值输出函数，也称为高度法。从数学上讲，它可以表示如下 -

$$\mu _{\widetilde{A}}\left ( x^* \right )>\mu _{\widetilde{A}}\left ( x \right ) \: 对于所有\:x \in X$$

这里，$x^*$ 是去模糊化的输出。

质心法

该方法也称为面积中心法或重心法。从数学上讲，去模糊化的输出 $x^*$ 将表示为 -

$$x^* = \frac{\int \mu _{\widetilde{A}}\left ( x \right ).xdx}{\int \mu _{\widetilde{A}}\left ( x \right ).dx}$$

加权平均法

在此方法中，每个隶属函数均以其最大隶属值进行加权。从数学上讲，去模糊化的输出 $x^*$ 将表示为 -

$$x^* = \frac{\sum \mu _{\widetilde{A}}\left ( \overline{x_i} \right ).\overline{x_i}}{\sum \mu _{\widetilde{A }}\left (\overline{x_i}\right)}$$

平均-最大隶属度

该方法也称为最大值中间法。从数学上讲，去模糊化的输出 $x^*$ 将表示为 -

$$x^* = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\overline{x_i}}{n}$$