调幅

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连续波连续地进行，没有任何间隔，它是基带消息信号，其中包含信息。该波必须被调制。

根据标准定义，“载波信号的幅度随着调制信号的瞬时幅度而变化”。这意味着，不包含信息的载波信号的幅度在每个时刻随着包含信息的信号的幅度而变化。下图可以很好地解释这一点。

第一张图显示了调制波，即消息信号。接下来是载波，它是一种高频信号，不包含任何信息。最后一个是合成的调制波。

可以观察到，载波的正峰值和负峰值通过虚线互连。这条线有助于重新创建调制信号的精确形状。载波上的这条假想线称为包络线。与消息信号相同。

数学表达式

以下是这些波的数学表达式。

波的时域表示

令调制信号为，

$$m\left ( t \right )=A_m\cos\left ( 2\pi f_mt \right )$$

和载波信号是，

$$c\left ( t \right )=A_c\cos\left ( 2\pi f_ct \right )$$

在哪里，

$A_m$和$A_c$分别是调制信号和载波信号的幅度。

$f_m$ 和 $f_c$ 分别是调制信号和载波信号的频率。

那么，调幅波的方程为

$s(t)= \left [ A_c+A_m\cos\left ( 2\pi f_mt \right ) \right ]\cos \left ( 2\pi f_ct \right )$ (方程 1 )

调制指数

载波经过调制后，如果计算出调制电平，则这种尝试称为调制指数或调制深度。它说明了载波所经历的调制级别。

将方程 1 重新排列如下。

$s(t)=A_c\left [ 1+\left ( \frac{A_m}{A_c} \right )\cos \left ( 2\pi f_mt \right ) \right ]\cos \left ( 2\pi f_ct \右）$

$\Rightarrow s\left ( t \right ) = A_c\left [ 1 + \mu \cos \left ( 2 \pi f_m t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$ (等式2)

其中，$\mu$为调制指数，它等于$A_m$和$A_c$的比值。从数学上来说，我们可以把它写成

$\mu = \frac{A_m}{A_c}$ （方程 3）

因此，当消息和载波信号的幅度已知时，我们可以利用上述公式计算调制指数的值。

现在，让我们通过考虑公式 1 推导出调制指数的另一个公式。当调制波的最大和最小幅度已知时，我们可以使用该公式来计算调制指数值。

令$A_\max$ 和$A_\min$ 为调制波的最大和最小振幅。

当 $\cos \left ( 2\pi f_mt \right )$ 为 1 时，我们将得到调制波的最大幅度。

$\Rightarrow A_\max = A_c + A_m$ (方程 4)

当 $\cos \left ( 2\pi f_mt \right )$ 为 -1 时，我们将得到调制波的最小幅度。

$\Rightarrow A_\min = A_c - A_m$ （方程式 5）

添加公式 4 和公式 5。

$$A_\max + A_\min = A_c+A_m+A_c-A_m = 2A_c$$

$\Rightarrow A_c = \frac{A_\max + A_\min}{2}$ (方程 6)

从公式 4 中减去公式 5。

$$A_\max - A_\min = A_c + A_m - \left (A_c -A_m \right )=2A_m$$

$\Rightarrow A_m = \frac{A_\max - A_\min}{2}$ (方程 7)

等式7和等式6的比率如下。

$$\frac{A_m}{A_c} = \frac{\left ( A_{max} - A_{min}\right )/2}{\left ( A_{max} + A_{min}\right )/2 }$$

$\Rightarrow \mu = \frac{A_\max - A_\min}{A_\max + A_\min}$ (方程 8)

因此，公式3和公式8是调制指数的两个公式。调制指数或调制深度通常以百分比表示，称为调制百分比。只需将调制指数值乘以 100，我们就可以得到调制百分比。

对于完美的调制，调制指数的值应该是1，这意味着调制的百分比应该是100%。

例如，如果该值小于 1，即调制指数为 0.5，则调制输出将如下图所示。这称为欠调制。这种波称为欠调制波。

如果调制指数的值大于1，即1.5左右，则该波将是过调制波。它看起来如下图所示。

随着调制指数值的增加，载波会经历 180 ^{° 的}相位反转，这会导致额外的边带，从而导致波失真。这种过调制波会产生无法消除的干扰。

AM波的带宽

带宽(BW) 是信号的最高频率和最低频率之间的差值。从数学上来说，我们可以把它写成

$$BW = f_{最大值} - f_{最小值}$$

考虑以下调幅波方程。

$$s\left ( t \right ) = A_c\left [ 1 + \mu \cos \left ( 2 \pi f_m t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$

$$\Rightarrow s\left ( t \right ) = A_c\cos \left ( 2\pi f_ct \right )+ A_c\mu \cos(2\pi f_ct)\cos \left ( 2\pi f_mt \right )$$

$\Rightarrow s\left ( t \right )= A_c\cos \left ( 2\pi f_ct \right )+\frac{A_c\mu }{2}\cos \left [ 2\pi \left ( f_c+f_m \right ) t\right ]+\frac{A_c\mu }{2}\cos \left [ 2\pi \left ( f_c-f_m \right ) t\right ]$

因此，调幅波具有三个频率。它们是载波频率 $f_c$、上边带频率 $f_c + f_m$ 和下边带频率 $f_c-f_m$

这里，

$f_{max}=f_c+f_m$ 和 $f_{min}=f_c-f_m$

将 $f_{max}$ 和 $f_{min}$ 值代入带宽公式中。

$$BW=f_c+f_m-\左 (f_c-f_m \右)$$

$$\右箭头 BW=2f_m$$

因此，可以说调幅波所需的带宽是调制信号频率的两倍。

AM波的功率计算

考虑以下调幅波方程。

$\ s\left ( t \right )= A_c\cos \left ( 2\pi f_ct \right )+\frac{A_c\mu }{2}\cos \left [ 2\pi \left ( f_c+f_m \右 ) t\right ]+\frac{A_c\mu }{2}\cos \left [ 2\pi \left ( f_c-f_m \right ) t\right ]$

AM波的功率等于载波、上边带和下边带频率分量的功率之和。

$$P_t=P_c+P_{USB}+P_{LSB}$$

我们知道cos信号功率的标准公式为

$$P=\frac{{v_{rms}}^{2}}{R}=\frac{\left ( v_m/ \sqrt{2}\right )^2}{2}$$

在哪里，

$v_{rms}$ 是 cos 信号的均方根值。

$v_m$是cos信号的峰值。

首先我们来一一求出载波、上边带和下边带的功率。

载波功率

$$P_c=\frac{\left ( A_c/\sqrt{2} \right )^2}{R}=\frac{{A_{c}}^{2}}{2R}$$

上边带功率

$$P_{USB}=\frac{\left ( A_c\mu /2\sqrt{2} \right )^2}{R}=\frac{{A_{c}}^{2}{_{\亩 }}^{2}}{8R}$$

类似地，我们将得到与上边带功率相同的下边带功率。

$$P_{LSB}=\frac{{A_{c}}^{2}{_{\mu }}^{2}}{8R}$$

现在，让我们将这三个功率相加，以获得 AM 波的功率。

$$P_t=\frac{{A_{c}}^{2}}{2R}+\frac{{A_{c}}^{2}{_{\mu }}^{2}}{8R} +\frac{{A_{c}}^{2}{_{\mu }}^{2}}{8R}$$

$$\Rightarrow P_t=\left ( \frac{{A_{c}}^{2}}{2R} \right )\left ( 1+\frac{\mu ^2}{4}+\frac{\ mu ^2}{4} \右)$$

$$\Rightarrow P_t=P_c\left ( 1+\frac{\mu ^2}{2} \right )$$

当载波功率和调制指数已知时，我们可以用上面的公式计算AM波的功率。

如果调制指数$\mu=1$，则AM波的功率等于载波功率的1.5倍。因此，发射 AM 波所需的功率是完美调制的载波功率的 1.5 倍。